Номер 301, страница 154 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 6. Применения производной к исследованию функции. Глава 2. Производная и её применения - номер 301, страница 154.
№301 (с. 154)
Условие. №301 (с. 154)
скриншот условия

301.—
a) $f(x) = x^2 \sqrt{1+x}$;
б) $f(x) = \frac{6(x-1)}{x^2-3}$;
в) $f(x) = x\sqrt{2-x}$;
г) $f(x) = \frac{2x}{1-x^2}$.
Решение 1. №301 (с. 154)




Решение 3. №301 (с. 154)


Решение 5. №301 (с. 154)
а)
Дана функция $f(x) = x^2 \sqrt{1+x}$.
Для нахождения производной этой функции мы применим правило дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.
В нашем случае, пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \sqrt{1+x}$.
Найдем производные для каждой из этих функций:
$u'(x) = (x^2)' = 2x$.
Для нахождения производной $v(x)$ применим правило дифференцирования сложной функции. Производная от $\sqrt{t}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{t}}$, а производная от внутреннего выражения $(1+x)$ равна $1$.
$v'(x) = (\sqrt{1+x})' = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} \cdot (1+x)' = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}$.
Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:
$f'(x) = u'v + uv' = 2x \cdot \sqrt{1+x} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}}$.
Чтобы упростить выражение, приведем слагаемые к общему знаменателю $2\sqrt{1+x}$:
$f'(x) = \frac{2x\sqrt{1+x} \cdot 2\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1+x}} + \frac{x^2}{2\sqrt{1+x}} = \frac{4x(1+x) + x^2}{2\sqrt{1+x}}$.
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные члены:
$f'(x) = \frac{4x + 4x^2 + x^2}{2\sqrt{1+x}} = \frac{5x^2 + 4x}{2\sqrt{1+x}}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{5x^2 + 4x}{2\sqrt{1+x}}$.
б)
Дана функция $f(x) = \frac{6(x-1)}{x^2+3}$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть числитель $u(x) = 6(x-1) = 6x-6$ и знаменатель $v(x) = x^2+3$.
Найдем их производные:
$u'(x) = (6x-6)' = 6$.
$v'(x) = (x^2+3)' = 2x$.
Теперь подставим все в формулу производной частного:
$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{6(x^2+3) - (6x-6)(2x)}{(x^2+3)^2}$.
Упростим выражение в числителе, раскрыв скобки:
$f'(x) = \frac{6x^2 + 18 - (12x^2 - 12x)}{(x^2+3)^2} = \frac{6x^2 + 18 - 12x^2 + 12x}{(x^2+3)^2}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$f'(x) = \frac{-6x^2 + 12x + 18}{(x^2+3)^2}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{-6x^2 + 12x + 18}{(x^2+3)^2}$.
в)
Дана функция $f(x) = x\sqrt{2-x}$.
Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \sqrt{2-x}$.
Найдем производные для каждой функции:
$u'(x) = (x)' = 1$.
Для нахождения производной $v(x)$ используем правило для сложной функции. Производная от $\sqrt{t}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{t}}$, а производная от $(2-x)$ равна $-1$.
$v'(x) = (\sqrt{2-x})' = \frac{1}{2\sqrt{2-x}} \cdot (2-x)' = \frac{1}{2\sqrt{2-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{2-x}}$.
Подставляем найденные производные в формулу произведения:
$f'(x) = 1 \cdot \sqrt{2-x} + x \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}\right) = \sqrt{2-x} - \frac{x}{2\sqrt{2-x}}$.
Приведем к общему знаменателю $2\sqrt{2-x}$:
$f'(x) = \frac{\sqrt{2-x} \cdot 2\sqrt{2-x} - x}{2\sqrt{2-x}} = \frac{2(2-x) - x}{2\sqrt{2-x}}$.
Раскроем скобки и упростим числитель:
$f'(x) = \frac{4 - 2x - x}{2\sqrt{2-x}} = \frac{4 - 3x}{2\sqrt{2-x}}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{4 - 3x}{2\sqrt{2-x}}$.
г)
Дана функция $f(x) = \frac{2x}{1-x^2}$.
Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = 2x$ и $v(x) = 1-x^2$.
Найдем их производные:
$u'(x) = (2x)' = 2$.
$v'(x) = (1-x^2)' = -2x$.
Подставляем в формулу производной частного:
$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2(1-x^2) - (2x)(-2x)}{(1-x^2)^2}$.
Упростим числитель:
$f'(x) = \frac{2 - 2x^2 + 4x^2}{(1-x^2)^2} = \frac{2x^2 + 2}{(1-x^2)^2}$.
Можно вынести общий множитель $2$ за скобки в числителе для более компактного вида:
$f'(x) = \frac{2(x^2+1)}{(1-x^2)^2}$.
Ответ: $f'(x) = \frac{2(x^2+1)}{(1-x^2)^2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 301 расположенного на странице 154 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №301 (с. 154), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.