Номер 301, страница 154 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 301, страница 154.

Условие.

301.—

a) $f(x) = x^2 \sqrt{1+x}$;

б) $f(x) = \frac{6(x-1)}{x^2-3}$;

в) $f(x) = x\sqrt{2-x}$;

г) $f(x) = \frac{2x}{1-x^2}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дана функция $f(x) = x^2 \sqrt{1+x}$.

Для нахождения производной этой функции мы применим правило дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

В нашем случае, пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \sqrt{1+x}$.

Найдем производные для каждой из этих функций:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Для нахождения производной $v(x)$ применим правило дифференцирования сложной функции. Производная от $\sqrt{t}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{t}}$, а производная от внутреннего выражения $(1+x)$ равна $1$.

$v'(x) = (\sqrt{1+x})' = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} \cdot (1+x)' = \frac{1}{2\sqrt{1+x}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 2x \cdot \sqrt{1+x} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x}}$.

Чтобы упростить выражение, приведем слагаемые к общему знаменателю $2\sqrt{1+x}$:

$f'(x) = \frac{2x\sqrt{1+x} \cdot 2\sqrt{1+x}}{2\sqrt{1+x}} + \frac{x^2}{2\sqrt{1+x}} = \frac{4x(1+x) + x^2}{2\sqrt{1+x}}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные члены:

$f'(x) = \frac{4x + 4x^2 + x^2}{2\sqrt{1+x}} = \frac{5x^2 + 4x}{2\sqrt{1+x}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{5x^2 + 4x}{2\sqrt{1+x}}$.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{6(x-1)}{x^2+3}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть числитель $u(x) = 6(x-1) = 6x-6$ и знаменатель $v(x) = x^2+3$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (6x-6)' = 6$.

$v'(x) = (x^2+3)' = 2x$.

Теперь подставим все в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{6(x^2+3) - (6x-6)(2x)}{(x^2+3)^2}$.

Упростим выражение в числителе, раскрыв скобки:

$f'(x) = \frac{6x^2 + 18 - (12x^2 - 12x)}{(x^2+3)^2} = \frac{6x^2 + 18 - 12x^2 + 12x}{(x^2+3)^2}$.

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$f'(x) = \frac{-6x^2 + 12x + 18}{(x^2+3)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{-6x^2 + 12x + 18}{(x^2+3)^2}$.

в)

Дана функция $f(x) = x\sqrt{2-x}$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \sqrt{2-x}$.

Найдем производные для каждой функции:

$u'(x) = (x)' = 1$.

Для нахождения производной $v(x)$ используем правило для сложной функции. Производная от $\sqrt{t}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{t}}$, а производная от $(2-x)$ равна $-1$.

$v'(x) = (\sqrt{2-x})' = \frac{1}{2\sqrt{2-x}} \cdot (2-x)' = \frac{1}{2\sqrt{2-x}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{2-x}}$.

Подставляем найденные производные в формулу произведения:

$f'(x) = 1 \cdot \sqrt{2-x} + x \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}\right) = \sqrt{2-x} - \frac{x}{2\sqrt{2-x}}$.

Приведем к общему знаменателю $2\sqrt{2-x}$:

$f'(x) = \frac{\sqrt{2-x} \cdot 2\sqrt{2-x} - x}{2\sqrt{2-x}} = \frac{2(2-x) - x}{2\sqrt{2-x}}$.

Раскроем скобки и упростим числитель:

$f'(x) = \frac{4 - 2x - x}{2\sqrt{2-x}} = \frac{4 - 3x}{2\sqrt{2-x}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{4 - 3x}{2\sqrt{2-x}}$.

г)

Дана функция $f(x) = \frac{2x}{1-x^2}$.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 2x$ и $v(x) = 1-x^2$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (2x)' = 2$.

$v'(x) = (1-x^2)' = -2x$.

Подставляем в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2(1-x^2) - (2x)(-2x)}{(1-x^2)^2}$.

Упростим числитель:

$f'(x) = \frac{2 - 2x^2 + 4x^2}{(1-x^2)^2} = \frac{2x^2 + 2}{(1-x^2)^2}$.

Можно вынести общий множитель $2$ за скобки в числителе для более компактного вида:

$f'(x) = \frac{2(x^2+1)}{(1-x^2)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2(x^2+1)}{(1-x^2)^2}$.