Номер 305, страница 158 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 305, страница 158.

Условие.

305.— Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$:

а) $f(x) = x^4 - 8x^2 - 9$ на промежутках $[-1; 1]$ и $[0; 3]$;

б) $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x}$ на промежутках $[-4; -1]$ и $[1; 3]$;

в) $f(x) = 3x^5 - 5x^3$ на промежутках $[0; 2]$ и $[2; 3]$;

г) $f(x) = \frac{x}{x + 1}$ на промежутках $[-3; -2]$ и $[1; 5]$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $f(x) = x^4 - 8x^2 - 9$ на промежутках $[-1; 1]$ и $[0; 3]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Найдём производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 8x^2 - 9)' = 4x^3 - 16x$.

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

$4x^3 - 16x = 0$

$4x(x^2 - 4) = 0$

$4x(x - 2)(x + 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.

Анализ на промежутке $[-1; 1]$:

В данный промежуток попадает одна критическая точка: $x=0$.

Вычислим значения функции в этой точке и на концах промежутка:

$f(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16$

$f(1) = (1)^4 - 8(1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16$

$f(0) = (0)^4 - 8(0)^2 - 9 = -9$

Следовательно, $\max_{[-1;1]} f(x) = -9$, а $\min_{[-1;1]} f(x) = -16$.

Анализ на промежутке $[0; 3]$:

В данный промежуток попадают две критические точки: $x=0$ и $x=2$.

Вычислим значения функции в этих точках и на концах промежутка:

$f(0) = -9$

$f(2) = (2)^4 - 8(2)^2 - 9 = 16 - 32 - 9 = -25$

$f(3) = (3)^4 - 8(3)^2 - 9 = 81 - 72 - 9 = 0$

Следовательно, $\max_{[0;3]} f(x) = 0$, а $\min_{[0;3]} f(x) = -25$.

Ответ: на промежутке $[-1; 1]$ наибольшее значение $f(0) = -9$, наименьшее $f(-1)=f(1)=-16$; на промежутке $[0; 3]$ наибольшее значение $f(3) = 0$, наименьшее $f(2)=-25$.

б) $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x}$ на промежутках $[-4; -1]$ и $[1; 3]$

1. Запишем функцию в виде $f(x) = x + \frac{4}{x}$ и найдём её производную:

$f'(x) = (x + \frac{4}{x})' = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}$.

2. Найдём критические точки из условия $f'(x) = 0$ (знаменатель не равен нулю в области определения):

$x^2 - 4 = 0 \implies x_1 = -2, x_2 = 2$.

Анализ на промежутке $[-4; -1]$:

В данный промежуток попадает критическая точка $x=-2$.

Вычислим значения функции в этой точке и на концах промежутка:

$f(-4) = \frac{(-4)^2+4}{-4} = \frac{20}{-4} = -5$

$f(-1) = \frac{(-1)^2+4}{-1} = \frac{5}{-1} = -5$

$f(-2) = \frac{(-2)^2+4}{-2} = \frac{8}{-2} = -4$

Следовательно, $\max_{[-4;-1]} f(x) = -4$, а $\min_{[-4;-1]} f(x) = -5$.

Анализ на промежутке $[1; 3]$:

В данный промежуток попадает критическая точка $x=2$.

Вычислим значения функции в этой точке и на концах промежутка:

$f(1) = \frac{1^2+4}{1} = 5$

$f(2) = \frac{2^2+4}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$f(3) = \frac{3^2+4}{3} = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}$

Следовательно, $\max_{[1;3]} f(x) = 5$, а $\min_{[1;3]} f(x) = 4$.

Ответ: на промежутке $[-4; -1]$ наибольшее значение $f(-2) = -4$, наименьшее $f(-4)=f(-1)=-5$; на промежутке $[1; 3]$ наибольшее значение $f(1) = 5$, наименьшее $f(2)=4$.

в) $f(x) = 3x^5 - 5x^3$ на промежутках $[0; 2]$ и $[2; 3]$

1. Найдём производную функции:

$f'(x) = (3x^5 - 5x^3)' = 15x^4 - 15x^2$.

2. Найдём критические точки:

$15x^4 - 15x^2 = 0 \implies 15x^2(x^2 - 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Анализ на промежутке $[0; 2]$:

В данный промежуток попадают критические точки $x=0$ и $x=1$.

Вычислим значения функции в этих точках и на концах промежутка:

$f(0) = 3(0)^5 - 5(0)^3 = 0$

$f(1) = 3(1)^5 - 5(1)^3 = 3 - 5 = -2$

$f(2) = 3(2)^5 - 5(2)^3 = 3 \cdot 32 - 5 \cdot 8 = 96 - 40 = 56$

Следовательно, $\max_{[0;2]} f(x) = 56$, а $\min_{[0;2]} f(x) = -2$.

Анализ на промежутке $[2; 3]$:

В данный промежуток критические точки не попадают. Производная $f'(x) = 15x^2(x^2-1)$ положительна для всех $x > 1$, значит, на промежутке $[2; 3]$ функция монотонно возрастает. Наименьшее значение будет на левом конце, а наибольшее — на правом.

$f(2) = 56$

$f(3) = 3(3)^5 - 5(3)^3 = 3 \cdot 243 - 5 \cdot 27 = 729 - 135 = 594$

Следовательно, $\max_{[2;3]} f(x) = 594$, а $\min_{[2;3]} f(x) = 56$.

Ответ: на промежутке $[0; 2]$ наибольшее значение $f(2) = 56$, наименьшее $f(1)=-2$; на промежутке $[2; 3]$ наибольшее значение $f(3) = 594$, наименьшее $f(2)=56$.

г) $f(x) = \frac{x}{x+1}$ на промежутках $[-3; -2]$ и $[1; 5]$

1. Найдём производную функции по правилу дифференцирования частного:

$f'(x) = \left(\frac{x}{x+1}\right)' = \frac{(x)'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.

2. Производная $f'(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$ всегда положительна в области определения функции ($x \neq -1$). Это означает, что критических точек (где производная равна нулю или не существует) нет, и функция монотонно возрастает на каждом из промежутков своей области определения.

Анализ на промежутке $[-3; -2]$:

Так как функция возрастает, наименьшее значение достигается в левой точке, а наибольшее — в правой.

$\min f(x) = f(-3) = \frac{-3}{-3+1} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$

$\max f(x) = f(-2) = \frac{-2}{-2+1} = \frac{-2}{-1} = 2$

Анализ на промежутке $[1; 5]$:

Аналогично, функция возрастает на этом промежутке.

$\min f(x) = f(1) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

$\max f(x) = f(5) = \frac{5}{5+1} = \frac{5}{6}$

Ответ: на промежутке $[-3; -2]$ наибольшее значение $f(-2) = 2$, наименьшее $f(-3)=\frac{3}{2}$; на промежутке $[1; 5]$ наибольшее значение $f(5) = \frac{5}{6}$, наименьшее $f(1)=\frac{1}{2}$.