Страница 158 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

305.— Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$:

а) $f(x) = x^4 - 8x^2 - 9$ на промежутках $[-1; 1]$ и $[0; 3]$;

б) $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x}$ на промежутках $[-4; -1]$ и $[1; 3]$;

в) $f(x) = 3x^5 - 5x^3$ на промежутках $[0; 2]$ и $[2; 3]$;

г) $f(x) = \frac{x}{x + 1}$ на промежутках $[-3; -2]$ и $[1; 5]$.

а) $f(x) = x^4 - 8x^2 - 9$ на промежутках $[-1; 1]$ и $[0; 3]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Найдём производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 8x^2 - 9)' = 4x^3 - 16x$.

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

$4x^3 - 16x = 0$

$4x(x^2 - 4) = 0$

$4x(x - 2)(x + 2) = 0$

Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.

Анализ на промежутке $[-1; 1]$:

В данный промежуток попадает одна критическая точка: $x=0$.

Вычислим значения функции в этой точке и на концах промежутка:

$f(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16$

$f(1) = (1)^4 - 8(1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16$

$f(0) = (0)^4 - 8(0)^2 - 9 = -9$

Следовательно, $\max_{[-1;1]} f(x) = -9$, а $\min_{[-1;1]} f(x) = -16$.

Анализ на промежутке $[0; 3]$:

В данный промежуток попадают две критические точки: $x=0$ и $x=2$.

Вычислим значения функции в этих точках и на концах промежутка:

$f(0) = -9$

$f(2) = (2)^4 - 8(2)^2 - 9 = 16 - 32 - 9 = -25$

$f(3) = (3)^4 - 8(3)^2 - 9 = 81 - 72 - 9 = 0$

Следовательно, $\max_{[0;3]} f(x) = 0$, а $\min_{[0;3]} f(x) = -25$.

Ответ: на промежутке $[-1; 1]$ наибольшее значение $f(0) = -9$, наименьшее $f(-1)=f(1)=-16$; на промежутке $[0; 3]$ наибольшее значение $f(3) = 0$, наименьшее $f(2)=-25$.

б) $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x}$ на промежутках $[-4; -1]$ и $[1; 3]$

1. Запишем функцию в виде $f(x) = x + \frac{4}{x}$ и найдём её производную:

$f'(x) = (x + \frac{4}{x})' = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}$.

2. Найдём критические точки из условия $f'(x) = 0$ (знаменатель не равен нулю в области определения):

$x^2 - 4 = 0 \implies x_1 = -2, x_2 = 2$.

Анализ на промежутке $[-4; -1]$:

В данный промежуток попадает критическая точка $x=-2$.

Вычислим значения функции в этой точке и на концах промежутка:

$f(-4) = \frac{(-4)^2+4}{-4} = \frac{20}{-4} = -5$

$f(-1) = \frac{(-1)^2+4}{-1} = \frac{5}{-1} = -5$

$f(-2) = \frac{(-2)^2+4}{-2} = \frac{8}{-2} = -4$

Следовательно, $\max_{[-4;-1]} f(x) = -4$, а $\min_{[-4;-1]} f(x) = -5$.

Анализ на промежутке $[1; 3]$:

В данный промежуток попадает критическая точка $x=2$.

Вычислим значения функции в этой точке и на концах промежутка:

$f(1) = \frac{1^2+4}{1} = 5$

$f(2) = \frac{2^2+4}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$f(3) = \frac{3^2+4}{3} = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3}$

Следовательно, $\max_{[1;3]} f(x) = 5$, а $\min_{[1;3]} f(x) = 4$.

Ответ: на промежутке $[-4; -1]$ наибольшее значение $f(-2) = -4$, наименьшее $f(-4)=f(-1)=-5$; на промежутке $[1; 3]$ наибольшее значение $f(1) = 5$, наименьшее $f(2)=4$.

в) $f(x) = 3x^5 - 5x^3$ на промежутках $[0; 2]$ и $[2; 3]$

1. Найдём производную функции:

$f'(x) = (3x^5 - 5x^3)' = 15x^4 - 15x^2$.

2. Найдём критические точки:

$15x^4 - 15x^2 = 0 \implies 15x^2(x^2 - 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

Анализ на промежутке $[0; 2]$:

В данный промежуток попадают критические точки $x=0$ и $x=1$.

Вычислим значения функции в этих точках и на концах промежутка:

$f(0) = 3(0)^5 - 5(0)^3 = 0$

$f(1) = 3(1)^5 - 5(1)^3 = 3 - 5 = -2$

$f(2) = 3(2)^5 - 5(2)^3 = 3 \cdot 32 - 5 \cdot 8 = 96 - 40 = 56$

Следовательно, $\max_{[0;2]} f(x) = 56$, а $\min_{[0;2]} f(x) = -2$.

Анализ на промежутке $[2; 3]$:

В данный промежуток критические точки не попадают. Производная $f'(x) = 15x^2(x^2-1)$ положительна для всех $x > 1$, значит, на промежутке $[2; 3]$ функция монотонно возрастает. Наименьшее значение будет на левом конце, а наибольшее — на правом.

$f(2) = 56$

$f(3) = 3(3)^5 - 5(3)^3 = 3 \cdot 243 - 5 \cdot 27 = 729 - 135 = 594$

Следовательно, $\max_{[2;3]} f(x) = 594$, а $\min_{[2;3]} f(x) = 56$.

Ответ: на промежутке $[0; 2]$ наибольшее значение $f(2) = 56$, наименьшее $f(1)=-2$; на промежутке $[2; 3]$ наибольшее значение $f(3) = 594$, наименьшее $f(2)=56$.

г) $f(x) = \frac{x}{x+1}$ на промежутках $[-3; -2]$ и $[1; 5]$

1. Найдём производную функции по правилу дифференцирования частного:

$f'(x) = \left(\frac{x}{x+1}\right)' = \frac{(x)'(x+1) - x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.

2. Производная $f'(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$ всегда положительна в области определения функции ($x \neq -1$). Это означает, что критических точек (где производная равна нулю или не существует) нет, и функция монотонно возрастает на каждом из промежутков своей области определения.

Анализ на промежутке $[-3; -2]$:

Так как функция возрастает, наименьшее значение достигается в левой точке, а наибольшее — в правой.

$\min f(x) = f(-3) = \frac{-3}{-3+1} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$

$\max f(x) = f(-2) = \frac{-2}{-2+1} = \frac{-2}{-1} = 2$

Анализ на промежутке $[1; 5]$:

Аналогично, функция возрастает на этом промежутке.

$\min f(x) = f(1) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

$\max f(x) = f(5) = \frac{5}{5+1} = \frac{5}{6}$

Ответ: на промежутке $[-3; -2]$ наибольшее значение $f(-2) = 2$, наименьшее $f(-3)=\frac{3}{2}$; на промежутке $[1; 5]$ наибольшее значение $f(5) = \frac{5}{6}$, наименьшее $f(1)=\frac{1}{2}$.

306. Сравните наибольшее значение функции на промежутке $P_1$ и наименьшее ее значение на промежутке $P_2$.

a) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x; P_1 = [-4; 0], P_2 = [3; 4];$

б) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 4; P_1 = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}], P_2 = [2; 3].$

Для функции $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x$ нам нужно сравнить ее наибольшее значение на промежутке $P_1 = [-4; 0]$ и наименьшее значение на промежутке $P_2 = [3; 4]$.

1. Найдем наибольшее значение на промежутке $P_1 = [-4; 0]$.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 9x)' = 3x^2 + 6x - 9$.

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 + 6x - 9 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Корнями этого уравнения являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

Проверим, какие из этих точек попадают в промежуток $P_1 = [-4; 0]$. Точка $x_1 = -3$ принадлежит этому промежутку, а точка $x_2 = 1$ — нет.

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно вычислить ее значения на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку.

$f(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 9(-4) = -64 + 3 \cdot 16 + 36 = -64 + 48 + 36 = 20$.

$f(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 - 9 \cdot 0 = 0$.

$f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) = -27 + 3 \cdot 9 + 27 = -27 + 27 + 27 = 27$.

Сравнивая значения $f(-4)=20$, $f(0)=0$ и $f(-3)=27$, находим, что наибольшее значение функции на промежутке $P_1$ равно 27.

2. Найдем наименьшее значение на промежутке $P_2 = [3; 4]$.

Критические точки функции $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$ не принадлежат промежутку $P_2 = [3; 4]$. Это значит, что на данном промежутке функция монотонна. Чтобы определить характер монотонности, найдем знак производной в любой точке этого промежутка, например, в $x=3$:

$f'(3) = 3(3)^2 + 6(3) - 9 = 27 + 18 - 9 = 36$.

Так как $f'(3) > 0$, функция возрастает на всем промежутке $[3; 4]$. Следовательно, свое наименьшее значение она принимает в левой точке промежутка, то есть при $x=3$.

$f(3) = 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 = 27 + 27 - 27 = 27$.

Наименьшее значение функции на промежутке $P_2$ равно 27.

3. Сравним полученные значения.

Наибольшее значение на $P_1$ равно 27, и наименьшее значение на $P_2$ также равно 27. Эти значения равны.

Ответ: Наибольшее значение функции на промежутке $P_1$ равно наименьшему ее значению на промежутке $P_2$.

Для функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 4$ нам нужно сравнить ее наибольшее значение на промежутке $P_1 = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$ и наименьшее значение на промежутке $P_2 = [2; 3]$.

1. Найдем наибольшее значение на промежутке $P_1 = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 4)' = 4x^3 - 4x$.

Найдем критические точки:

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

В промежуток $P_1 = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$ попадает только точка $x_1 = 0$.

Вычислим значения функции на концах отрезка и в этой критической точке.

$f(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^4 - 2(-\frac{1}{2})^2 + 4 = \frac{1}{16} - 2 \cdot \frac{1}{4} + 4 = \frac{1}{16} - \frac{8}{16} + \frac{64}{16} = \frac{57}{16} = 3\frac{9}{16}$.

$f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^4 - 2(\frac{1}{2})^2 + 4 = \frac{1}{16} - \frac{1}{2} + 4 = \frac{57}{16} = 3\frac{9}{16}$.

$f(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 4 = 4$.

Сравнивая значения $3\frac{9}{16}$ и $4$, видим, что $4 > 3\frac{9}{16}$. Наибольшее значение функции на промежутке $P_1$ равно 4.

2. Найдем наименьшее значение на промежутке $P_2 = [2; 3]$.

Ни одна из критических точек ($0, 1, -1$) не принадлежит промежутку $P_2 = [2; 3]$. Следовательно, на этом отрезке функция монотонна. Проверим знак производной в точке $x=2$:

$f'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 4 \cdot 8 - 8 = 32 - 8 = 24$.

Так как $f'(2) > 0$, функция возрастает на промежутке $[2; 3]$. Значит, наименьшее значение достигается в точке $x=2$.

$f(2) = 2^4 - 2 \cdot 2^2 + 4 = 16 - 8 + 4 = 12$.

Наименьшее значение функции на промежутке $P_2$ равно 12.

3. Сравним полученные значения.

Наибольшее значение на $P_1$ равно 4, а наименьшее значение на $P_2$ равно 12. Так как $4 < 12$, то наибольшее значение на $P_1$ меньше наименьшего значения на $P_2$.

Ответ: Наибольшее значение функции на промежутке $P_1$ меньше наименьшего ее значения на промежутке $P_2$.

307. Материальная точка движется по прямой согласно закону $s (t) = 12t^2 - \frac{2}{3} t^3$, где $s (t)$ — путь в метрах и $t$ — время в секундах. В какой момент времени из промежутка $[4; 10]$ скорость движения точки будет наибольшей и какова величина этой скорости?

Закон движения материальной точки задан уравнением $s(t) = 12t^2 - \frac{2}{3}t^3$, где $s$ — путь в метрах, а $t$ — время в секундах.

Скорость движения $v(t)$ является первой производной от функции пути $s(t)$ по времени $t$. Найдем функцию скорости:

$v(t) = s'(t) = (12t^2 - \frac{2}{3}t^3)' = 12 \cdot 2t - \frac{2}{3} \cdot 3t^2 = 24t - 2t^2$.

Задача сводится к нахождению наибольшего значения функции $v(t) = 24t - 2t^2$ на отрезке $[4; 10]$. Для этого найдем производную функции скорости и ее критические точки.

Производная функции скорости (то есть ускорение $a(t)$) равна:

$a(t) = v'(t) = (24t - 2t^2)' = 24 - 4t$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$24 - 4t = 0 \implies 4t = 24 \implies t = 6$.

Критическая точка $t = 6$ принадлежит заданному промежутку $[4; 10]$.

Теперь необходимо сравнить значения скорости в найденной критической точке и на концах отрезка $[4; 10]$.

Вычислим значение скорости при $t = 4$:

$v(4) = 24(4) - 2(4)^2 = 96 - 2 \cdot 16 = 96 - 32 = 64$ м/с.

Вычислим значение скорости при $t = 6$:

$v(6) = 24(6) - 2(6)^2 = 144 - 2 \cdot 36 = 144 - 72 = 72$ м/с.

Вычислим значение скорости при $t = 10$:

$v(10) = 24(10) - 2(10)^2 = 240 - 2 \cdot 100 = 240 - 200 = 40$ м/с.

Сравнивая полученные значения ($v(4) = 64$ м/с, $v(6) = 72$ м/с, $v(10) = 40$ м/с), мы видим, что наибольшее значение скорости достигается в момент времени $t = 6$ секунд.

Ответ: Наибольшая скорость на промежутке $[4; 10]$ достигается в момент времени $t=6$ с и ее величина составляет $72$ м/с.

308.- Найдите значения аргумента из промежутка $[-2; 5]$, при которых скорость изменения функции $f(x) = 21x + 2x^2 - \frac{x^3}{3}$ будет наибольшей или наименьшей.

Скорость изменения функции в точке определяется значением ее производной в этой точке. Обозначим функцию скорости изменения как $v(x)$.

Дана функция: $f(x) = 21x + 2x^2 - \frac{x^3}{3}$.

Найдем ее производную, чтобы получить функцию, описывающую скорость изменения:

$v(x) = f'(x) = (21x + 2x^2 - \frac{x^3}{3})' = 21 + 4x - \frac{3x^2}{3} = -x^2 + 4x + 21$.

Теперь задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции $v(x) = -x^2 + 4x + 21$ на отрезке $[-2; 5]$.

Для нахождения экстремумов функции на отрезке, необходимо найти ее производную и критические точки (точки, в которых производная равна нулю или не существует).

$v'(x) = (-x^2 + 4x + 21)' = -2x + 4$.

Приравняем производную к нулю:

$-2x + 4 = 0$

$-2x = -4$

$x = 2$.

Критическая точка $x=2$ принадлежит заданному промежутку $[-2; 5]$.

Далее, вычислим значения функции скорости $v(x)$ в найденной критической точке $x=2$ и на концах отрезка $x=-2$ и $x=5$.

При $x = -2$: $v(-2) = -(-2)^2 + 4(-2) + 21 = -4 - 8 + 21 = 9$.

При $x = 2$: $v(2) = -(2)^2 + 4(2) + 21 = -4 + 8 + 21 = 25$.

При $x = 5$: $v(5) = -(5)^2 + 4(5) + 21 = -25 + 20 + 21 = 16$.

Сравнивая полученные значения ($9$, $25$ и $16$), мы можем определить, при каких значениях аргумента скорость изменения будет наибольшей и наименьшей.

Скорость изменения будет наибольшей

Наибольшее значение скорости на отрезке $[-2; 5]$ равно $25$ и достигается при значении аргумента $x=2$.

Ответ: $x=2$.

Скорость изменения будет наименьшей

Наименьшее значение скорости на отрезке $[-2; 5]$ равно $9$ и достигается при значении аргумента $x=-2$.

Ответ: $x=-2$.

309. Скорость материальной точки, движущейся прямолинейно, изменяется по закону $v(t) = \frac{1}{6} t^3 - 12t$ (скорость измеряется в метрах в секунду). В какой момент времени ускорение движения будет наименьшим, если движение рассматривать за промежуток от $t_1 = 10 \, с$ до $t_2 = 50 \, с$?

Для решения задачи необходимо найти функцию ускорения, а затем исследовать ее на наименьшее значение на заданном промежутке времени. Ускорение $a(t)$ по определению является производной от скорости $v(t)$ по времени $t$.

Закон изменения скорости материальной точки задан формулой: $v(t) = \frac{1}{6}t^3 - 12t$.

Найдем функцию ускорения, взяв производную от функции скорости по времени:
$a(t) = v'(t) = \left(\frac{1}{6}t^3 - 12t\right)' = \frac{1}{6} \cdot (t^3)' - (12t)' = \frac{1}{6} \cdot 3t^2 - 12 = \frac{1}{2}t^2 - 12$.

Теперь нужно найти, в какой момент времени $t$ на отрезке $[10; 50]$ функция ускорения $a(t) = \frac{1}{2}t^2 - 12$ принимает свое наименьшее значение. Для этого найдем производную функции ускорения $a(t)$ и определим ее знак на заданном интервале, чтобы понять характер монотонности функции.

Производная функции ускорения:
$a'(t) = \left(\frac{1}{2}t^2 - 12\right)' = \frac{1}{2} \cdot 2t - 0 = t$.

На всем рассматриваемом промежутке времени от $t_1 = 10$ с до $t_2 = 50$ с, то есть для любого $t \in [10; 50]$, производная $a'(t) = t$ будет положительной ($a'(t) > 0$).

Поскольку производная функции ускорения положительна на всем отрезке $[10; 50]$, это означает, что функция ускорения $a(t)$ является монотонно возрастающей на этом отрезке.

Для монотонно возрастающей функции на отрезке ее наименьшее значение достигается в начальной (левой) точке отрезка. В данном случае это точка $t_1 = 10$ с.

Следовательно, ускорение движения будет наименьшим в начальный момент рассматриваемого промежутка времени.

Ответ: наименьшее ускорение будет в момент времени $t = 10$ с.

310.— Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на данном промежутке:

а) $f(x) = 2 \sin x + \cos 2x$, $[0; 2\pi]$;

б) $f(x) = 1,5x^2 + \frac{81}{x}$, $[1; 4]$;

в) $f(x) = 2 \sin x + \sin 2x$, $[0; \frac{3\pi}{2}]$;

г) $f(x) = x + \frac{1}{x+2}$, $[-5; -2,5]$.

а)

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 2 \sin x + \cos 2x$ на промежутке $[0; 2\pi]$, мы воспользуемся алгоритмом исследования функции на отрезке.

1. Найдем производную функции $f(x)$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, чтобы упростить выражение, но для нахождения производной это не обязательно. $f'(x) = (2 \sin x + \cos 2x)' = 2 \cos x - 2 \sin 2x$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$. $2 \cos x - 2 \sin 2x = 0$. Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, получаем: $2 \cos x - 2(2 \sin x \cos x) = 0$ $2 \cos x (1 - 2 \sin x) = 0$. Это равенство выполняется, если $\cos x = 0$ или $1 - 2 \sin x = 0$.

3. Решим полученные уравнения на промежутке $[0; 2\pi]$: Из $\cos x = 0$ получаем $x_1 = \frac{\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{3\pi}{2}$. Из $1 - 2 \sin x = 0$, то есть $\sin x = \frac{1}{2}$, получаем $x_3 = \frac{\pi}{6}$ и $x_4 = \frac{5\pi}{6}$. Все найденные критические точки принадлежат отрезку $[0; 2\pi]$.

4. Вычислим значения функции в этих критических точках и на концах отрезка: $f(0) = 2 \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$. $f(2\pi) = 2 \sin(2\pi) + \cos(4\pi) = 0 + 1 = 1$. $f(\frac{\pi}{6}) = 2 \sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + 0,5 = 1,5$. $f(\frac{5\pi}{6}) = 2 \sin(\frac{5\pi}{6}) + \cos(\frac{5\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + 0,5 = 1,5$. $f(\frac{\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\pi) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$. $f(\frac{3\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{3\pi}{2}) + \cos(3\pi) = 2 \cdot (-1) + (-1) = -2 - 1 = -3$.

5. Сравнивая вычисленные значения $\{1; 1,5; 1; -3\}$, заключаем, что наибольшее значение функции равно $1,5$, а наименьшее равно $-3$.

Ответ: наибольшее значение: $1,5$; наименьшее значение: $-3$.

б)

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 1,5x^2 + \frac{81}{x}$ на промежутке $[1; 4]$.

1. Найдем производную функции: $f'(x) = (1,5x^2 + 81x^{-1})' = 1,5 \cdot 2x - 81x^{-2} = 3x - \frac{81}{x^2}$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $3x - \frac{81}{x^2} = 0$. $3x = \frac{81}{x^2}$. $3x^3 = 81$. $x^3 = 27$. $x = 3$. Производная не существует в точке $x=0$, но эта точка не входит в заданный промежуток $[1; 4]$.

3. Критическая точка $x=3$ принадлежит отрезку $[1; 4]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=3$ и на концах отрезка $x=1$ и $x=4$: $f(1) = 1,5(1)^2 + \frac{81}{1} = 1,5 + 81 = 82,5$. $f(3) = 1,5(3)^2 + \frac{81}{3} = 1,5 \cdot 9 + 27 = 13,5 + 27 = 40,5$. $f(4) = 1,5(4)^2 + \frac{81}{4} = 1,5 \cdot 16 + 20,25 = 24 + 20,25 = 44,25$.

5. Сравнивая значения $\{82,5; 40,5; 44,25\}$, видим, что наибольшее значение функции равно $82,5$, а наименьшее равно $40,5$.

Ответ: наибольшее значение: $82,5$; наименьшее значение: $40,5$.

в)

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 2 \sin x + \sin 2x$ на промежутке $[0; \frac{3\pi}{2}]$.

1. Найдем производную функции: $f'(x) = (2 \sin x + \sin 2x)' = 2 \cos x + 2 \cos 2x$.

2. Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$: $2 \cos x + 2 \cos 2x = 0$. $\cos x + \cos 2x = 0$. Используем формулу $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $\cos x + 2\cos^2 x - 1 = 0$. $2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$. Сделаем замену $y = \cos x$, получим квадратное уравнение $2y^2 + y - 1 = 0$. Корни этого уравнения: $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2}$ и $y_2 = \frac{-1-3}{4} = -1$.

3. Вернемся к переменной $x$: $\cos x = \frac{1}{2}$ или $\cos x = -1$. На промежутке $[0; \frac{3\pi}{2}]$ решениями являются: Из $\cos x = \frac{1}{2}$ получаем $x = \frac{\pi}{3}$. Из $\cos x = -1$ получаем $x = \pi$.

4. Вычислим значения функции в критических точках $x=\frac{\pi}{3}$, $x=\pi$ и на концах отрезка $x=0$ и $x=\frac{3\pi}{2}$: $f(0) = 2 \sin(0) + \sin(0) = 0$. $f(\frac{3\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{3\pi}{2}) + \sin(3\pi) = 2(-1) + 0 = -2$. $f(\frac{\pi}{3}) = 2 \sin(\frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{2\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. $f(\pi) = 2 \sin(\pi) + \sin(2\pi) = 0 + 0 = 0$.

5. Сравнивая значения $\{0; -2; \frac{3\sqrt{3}}{2}\}$, ($\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2,598$), находим, что наибольшее значение функции равно $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, а наименьшее равно $-2$.

Ответ: наибольшее значение: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$; наименьшее значение: $-2$.

г)

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x + \frac{1}{x+2}$ на промежутке $[-5; -2,5]$.

1. Найдем производную функции: $f'(x) = (x + (x+2)^{-1})' = 1 - (x+2)^{-2} = 1 - \frac{1}{(x+2)^2}$.

2. Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$: $1 - \frac{1}{(x+2)^2} = 0$. $\frac{1}{(x+2)^2} = 1$. $(x+2)^2 = 1$. $x+2 = 1$ или $x+2 = -1$. $x_1 = -1$, $x_2 = -3$.

3. Проверим принадлежность критических точек отрезку $[-5; -2,5]$: $x_1 = -1$ не принадлежит отрезку. $x_2 = -3$ принадлежит отрезку.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=-3$ и на концах отрезка $x=-5$ и $x=-2,5$: $f(-5) = -5 + \frac{1}{-5+2} = -5 + \frac{1}{-3} = -5 - \frac{1}{3} = -\frac{16}{3}$. $f(-3) = -3 + \frac{1}{-3+2} = -3 + \frac{1}{-1} = -3 - 1 = -4$. $f(-2,5) = -2,5 + \frac{1}{-2,5+2} = -2,5 + \frac{1}{-0,5} = -2,5 - 2 = -4,5 = -\frac{9}{2}$.

5. Сравним полученные значения: $\{-\frac{16}{3}; -4; -4,5\}$. Так как $-\frac{16}{3} = -5,333...$, то $-\frac{16}{3} < -4,5 < -4$. Наибольшее значение функции равно $-4$, а наименьшее равно $-\frac{16}{3}$.

Ответ: наибольшее значение: $-4$; наименьшее значение: $-\frac{16}{3}$.

Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

Пусть искомые два неотрицательных числа — это $x$ и $y$.
Согласно условию задачи, их сумма равна 24. Запишем это в виде уравнения:
$x + y = 24$

Нам необходимо найти такие $x$ и $y$, чтобы сумма их квадратов была наименьшей. Обозначим эту сумму буквой $S$:
$S = x^2 + y^2$

Чтобы найти минимум функции $S$, выразим ее через одну переменную. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 24 - x$

Теперь подставим это выражение в формулу для суммы квадратов $S$. Таким образом, $S$ станет функцией от переменной $x$:
$S(x) = x^2 + (24 - x)^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы упростить выражение:
$S(x) = x^2 + (24^2 - 2 \cdot 24 \cdot x + x^2)$
$S(x) = x^2 + 576 - 48x + x^2$
$S(x) = 2x^2 - 48x + 576$

Мы получили квадратичную функцию $S(x)$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ (равный 2) положителен. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Абсциссу $x_0$ вершины параболы вида $y = ax^2 + bx + c$ можно найти по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
В нашем случае коэффициенты равны $a = 2$ и $b = -48$. Найдем значение $x$:
$x = -\frac{-48}{2 \cdot 2} = \frac{48}{4} = 12$

Итак, мы нашли одно из слагаемых. Теперь найдем второе слагаемое $y$:
$y = 24 - x = 24 - 12 = 12$

Найденные числа $x=12$ и $y=12$ являются неотрицательными, что соответствует условию задачи. Таким образом, чтобы сумма квадратов двух неотрицательных слагаемых, дающих в сумме 24, была наименьшей, эти слагаемые должны быть равны 12 и 12.

Ответ: 12 и 12.

312. Число 4 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.

Обозначим два искомых неотрицательных слагаемых как $x$ и $y$.

По условию задачи, их сумма равна 4. Это можно записать в виде уравнения:
$x + y = 4$

Также по условию слагаемые должны быть неотрицательными, то есть:
$x \geq 0$ и $y \geq 0$

Нам необходимо найти такие значения $x$ и $y$, при которых их произведение $P = x \cdot y$ будет максимальным.

Для того чтобы найти максимум произведения, выразим одну переменную через другую из уравнения суммы. Например, выразим $y$ через $x$:
$y = 4 - x$

Теперь подставим это выражение в формулу для произведения $P$:
$P(x) = x \cdot (4 - x) = 4x - x^2$

Мы получили функцию $P(x) = -x^2 + 4x$, которую нужно максимизировать. Эта функция является квадратичной, ее график — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен -1), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что парабола имеет точку максимума, которая является ее вершиной.

Координата $x_v$ вершины параболы вида $ax^2 + bx + c$ вычисляется по формуле:
$x_v = -\frac{b}{2a}$

В нашем случае, для функции $P(x) = -x^2 + 4x$, коэффициенты равны $a = -1$ и $b = 4$. Найдем координату $x$ вершины:
$x = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2$

Теперь, зная значение $x$, найдем соответствующее значение $y$:
$y = 4 - x = 4 - 2 = 2$

Мы нашли два слагаемых: 2 и 2. Проверим, удовлетворяют ли они условиям: оба числа неотрицательны ($2 \ge 0$), и их сумма равна $2 + 2 = 4$. Их произведение равно $2 \cdot 2 = 4$, и это значение является максимально возможным для данной задачи.

Ответ: Число 4 следует представить в виде суммы $2 + 2$.