Номер 307, страница 158 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 6. Применения производной к исследованию функции. Глава 2. Производная и её применения - номер 307, страница 158.

Условие.

307. Материальная точка движется по прямой согласно закону $s (t) = 12t^2 - \frac{2}{3} t^3$, где $s (t)$ — путь в метрах и $t$ — время в секундах. В какой момент времени из промежутка $[4; 10]$ скорость движения точки будет наибольшей и какова величина этой скорости?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Закон движения материальной точки задан уравнением $s(t) = 12t^2 - \frac{2}{3}t^3$, где $s$ — путь в метрах, а $t$ — время в секундах.

Скорость движения $v(t)$ является первой производной от функции пути $s(t)$ по времени $t$. Найдем функцию скорости:

$v(t) = s'(t) = (12t^2 - \frac{2}{3}t^3)' = 12 \cdot 2t - \frac{2}{3} \cdot 3t^2 = 24t - 2t^2$.

Задача сводится к нахождению наибольшего значения функции $v(t) = 24t - 2t^2$ на отрезке $[4; 10]$. Для этого найдем производную функции скорости и ее критические точки.

Производная функции скорости (то есть ускорение $a(t)$) равна:

$a(t) = v'(t) = (24t - 2t^2)' = 24 - 4t$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$24 - 4t = 0 \implies 4t = 24 \implies t = 6$.

Критическая точка $t = 6$ принадлежит заданному промежутку $[4; 10]$.

Теперь необходимо сравнить значения скорости в найденной критической точке и на концах отрезка $[4; 10]$.

Вычислим значение скорости при $t = 4$:

$v(4) = 24(4) - 2(4)^2 = 96 - 2 \cdot 16 = 96 - 32 = 64$ м/с.

Вычислим значение скорости при $t = 6$:

$v(6) = 24(6) - 2(6)^2 = 144 - 2 \cdot 36 = 144 - 72 = 72$ м/с.

Вычислим значение скорости при $t = 10$:

$v(10) = 24(10) - 2(10)^2 = 240 - 2 \cdot 100 = 240 - 200 = 40$ м/с.

Сравнивая полученные значения ($v(4) = 64$ м/с, $v(6) = 72$ м/с, $v(10) = 40$ м/с), мы видим, что наибольшее значение скорости достигается в момент времени $t = 6$ секунд.

Ответ: Наибольшая скорость на промежутке $[4; 10]$ достигается в момент времени $t=6$ с и ее величина составляет $72$ м/с.