Номер 306, страница 158 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 306, страница 158.

Условие.

306. Сравните наибольшее значение функции на промежутке $P_1$ и наименьшее ее значение на промежутке $P_2$.

a) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x; P_1 = [-4; 0], P_2 = [3; 4];$

б) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 4; P_1 = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}], P_2 = [2; 3].$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Для функции $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x$ нам нужно сравнить ее наибольшее значение на промежутке $P_1 = [-4; 0]$ и наименьшее значение на промежутке $P_2 = [3; 4]$.

1. Найдем наибольшее значение на промежутке $P_1 = [-4; 0]$.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 9x)' = 3x^2 + 6x - 9$.

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 + 6x - 9 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Корнями этого уравнения являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

Проверим, какие из этих точек попадают в промежуток $P_1 = [-4; 0]$. Точка $x_1 = -3$ принадлежит этому промежутку, а точка $x_2 = 1$ — нет.

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно вычислить ее значения на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку.

$f(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 9(-4) = -64 + 3 \cdot 16 + 36 = -64 + 48 + 36 = 20$.

$f(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 - 9 \cdot 0 = 0$.

$f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) = -27 + 3 \cdot 9 + 27 = -27 + 27 + 27 = 27$.

Сравнивая значения $f(-4)=20$, $f(0)=0$ и $f(-3)=27$, находим, что наибольшее значение функции на промежутке $P_1$ равно 27.

2. Найдем наименьшее значение на промежутке $P_2 = [3; 4]$.

Критические точки функции $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$ не принадлежат промежутку $P_2 = [3; 4]$. Это значит, что на данном промежутке функция монотонна. Чтобы определить характер монотонности, найдем знак производной в любой точке этого промежутка, например, в $x=3$:

$f'(3) = 3(3)^2 + 6(3) - 9 = 27 + 18 - 9 = 36$.

Так как $f'(3) > 0$, функция возрастает на всем промежутке $[3; 4]$. Следовательно, свое наименьшее значение она принимает в левой точке промежутка, то есть при $x=3$.

$f(3) = 3^3 + 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 = 27 + 27 - 27 = 27$.

Наименьшее значение функции на промежутке $P_2$ равно 27.

3. Сравним полученные значения.

Наибольшее значение на $P_1$ равно 27, и наименьшее значение на $P_2$ также равно 27. Эти значения равны.

Ответ: Наибольшее значение функции на промежутке $P_1$ равно наименьшему ее значению на промежутке $P_2$.

б)

Для функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 4$ нам нужно сравнить ее наибольшее значение на промежутке $P_1 = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$ и наименьшее значение на промежутке $P_2 = [2; 3]$.

1. Найдем наибольшее значение на промежутке $P_1 = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 4)' = 4x^3 - 4x$.

Найдем критические точки:

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.

В промежуток $P_1 = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$ попадает только точка $x_1 = 0$.

Вычислим значения функции на концах отрезка и в этой критической точке.

$f(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^4 - 2(-\frac{1}{2})^2 + 4 = \frac{1}{16} - 2 \cdot \frac{1}{4} + 4 = \frac{1}{16} - \frac{8}{16} + \frac{64}{16} = \frac{57}{16} = 3\frac{9}{16}$.

$f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^4 - 2(\frac{1}{2})^2 + 4 = \frac{1}{16} - \frac{1}{2} + 4 = \frac{57}{16} = 3\frac{9}{16}$.

$f(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 4 = 4$.

Сравнивая значения $3\frac{9}{16}$ и $4$, видим, что $4 > 3\frac{9}{16}$. Наибольшее значение функции на промежутке $P_1$ равно 4.

2. Найдем наименьшее значение на промежутке $P_2 = [2; 3]$.

Ни одна из критических точек ($0, 1, -1$) не принадлежит промежутку $P_2 = [2; 3]$. Следовательно, на этом отрезке функция монотонна. Проверим знак производной в точке $x=2$:

$f'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 4 \cdot 8 - 8 = 32 - 8 = 24$.

Так как $f'(2) > 0$, функция возрастает на промежутке $[2; 3]$. Значит, наименьшее значение достигается в точке $x=2$.

$f(2) = 2^4 - 2 \cdot 2^2 + 4 = 16 - 8 + 4 = 12$.

Наименьшее значение функции на промежутке $P_2$ равно 12.

3. Сравним полученные значения.

Наибольшее значение на $P_1$ равно 4, а наименьшее значение на $P_2$ равно 12. Так как $4 < 12$, то наибольшее значение на $P_1$ меньше наименьшего значения на $P_2$.

Ответ: Наибольшее значение функции на промежутке $P_1$ меньше наименьшего ее значения на промежутке $P_2$.