Номер 299, страница 154 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 6. Применения производной к исследованию функции. Глава 2. Производная и её применения - номер 299, страница 154.

Условие.

299. Докажите, что функция $f$ возрастает на множестве $R$:

a) $f(x) = 2x - \cos x;$

б) $f(x) = x^5 + 4x;$

в) $f(x) = \sin x + \frac{3x}{2};$

г) $f(x) = 2x^3 + x - 5.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для того чтобы доказать, что функция возрастает на множестве $R$, необходимо показать, что ее производная $f'(x) > 0$ для всех $x \in R$.
Найдем производную функции $f(x) = 2x - \cos x$:
$f'(x) = (2x - \cos x)' = (2x)' - (\cos x)' = 2 - (-\sin x) = 2 + \sin x$.
Известно, что область значений функции синус: $-1 \le \sin x \le 1$.
Тогда мы можем оценить значения производной $f'(x)$:
Минимальное значение: $2 + (-1) = 1$.
Максимальное значение: $2 + 1 = 3$.
Таким образом, $1 \le f'(x) \le 3$ для всех $x \in R$.
Поскольку $f'(x) \ge 1$, то $f'(x) > 0$ для всех $x \in R$. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано, что функция возрастает на множестве $R$.

б) Найдем производную функции $f(x) = x^5 + 4x$:
$f'(x) = (x^5 + 4x)' = (x^5)' + (4x)' = 5x^4 + 4$.
Выражение $x^4$ всегда неотрицательно, так как показатель степени четный: $x^4 \ge 0$ для любого $x \in R$.
Следовательно, $5x^4 \ge 0$.
Тогда для производной $f'(x)$ получаем:
$f'(x) = 5x^4 + 4 \ge 0 + 4 = 4$.
Поскольку $f'(x) \ge 4 > 0$ для всех $x \in R$, функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано, что функция возрастает на множестве $R$.

в) Найдем производную функции $f(x) = \sin x + \frac{3x}{2}$:
$f'(x) = (\sin x + \frac{3x}{2})' = (\sin x)' + (\frac{3x}{2})' = \cos x + \frac{3}{2}$.
Известно, что область значений функции косинус: $-1 \le \cos x \le 1$.
Тогда мы можем оценить значения производной $f'(x)$:
Минимальное значение: $-1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.
Максимальное значение: $1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$.
Таким образом, $\frac{1}{2} \le f'(x) \le \frac{5}{2}$ для всех $x \in R$.
Поскольку $f'(x) \ge \frac{1}{2}$, то $f'(x) > 0$ для всех $x \in R$. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано, что функция возрастает на множестве $R$.

г) Найдем производную функции $f(x) = 2x^3 + x - 5$:
$f'(x) = (2x^3 + x - 5)' = (2x^3)' + (x)' - (5)' = 6x^2 + 1$.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, так как показатель степени четный: $x^2 \ge 0$ для любого $x \in R$.
Следовательно, $6x^2 \ge 0$.
Тогда для производной $f'(x)$ получаем:
$f'(x) = 6x^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Поскольку $f'(x) \ge 1 > 0$ для всех $x \in R$, функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой.
Ответ: Доказано, что функция возрастает на множестве $R$.