Номер 294, страница 151 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 294, страница 151.

Условие.

294.— Постройте эскиз графика функции, обладающей следующими свойствами:

а) $D(f) = [-3; 5]$; $f'(x) > 0$ при $x \in (-3; 1)$, $f'(x) < 0$ при $x \in (1; 5)$ и $f'(1) = 0$;

б) $D(f) = [-3; 5]$; $f'(x) < 0$ при $x \in (-3; 1)$, $f'(x) > 0$ при $x \in (1; 5)$ и функция $f$ не имеет производной в точке 1;

в) $D(f) = [a; b]$; $x_1$ — точка минимума, $x_2$ — точка максимума функции, $f(a) > f(b)$;

г) $D(f) = [a; b]$; $x_1$ — точка максимума, $x_2$ — точка минимума, $f(a) = f(b)$.

Решение 1.

Решение 5.

а)

Проанализируем заданные свойства функции $f(x)$:

• Область определения $D(f) = [-3; 5]$. Это означает, что график функции существует только для $x$ в этом отрезке.
• Производная $f'(x) > 0$ при $x \in (-3; 1)$. Это означает, что на интервале $(-3; 1)$ функция возрастает.
• Производная $f'(x) < 0$ при $x \in (1; 5)$. Это означает, что на интервале $(1; 5)$ функция убывает.
• $f'(1) = 0$. В точке $x=1$ производная равна нулю. Это означает, что касательная к графику в этой точке горизонтальна.

Из анализа знаков производной следует, что в точке $x=1$ функция переходит от возрастания к убыванию. Следовательно, $x=1$ является точкой локального максимума. Так как $f'(1) = 0$, этот максимум является гладким (без излома).

Эскиз графика можно построить следующим образом:

1. На оси абсцисс отмечаем отрезок $[-3; 5]$.
2. Выбираем произвольную точку на вертикальной оси для $f(-3)$, например, $(-3, 0)$.
3. От этой точки ведем гладкую кривую вверх до точки $x=1$. В точке $x=1$ функция достигает своего максимума. Пусть, для примера, $f(1) = 4$. В точке $(1, 4)$ график должен иметь горизонтальную касательную.
4. От точки максимума $(1, 4)$ ведем гладкую кривую вниз до конца отрезка в точке $x=5$. Значение $f(5)$ должно быть меньше $f(1)$. Например, можно взять точку $(5, -1)$.

Ответ: Эскиз представляет собой кривую, определенную на отрезке $[-3; 5]$. Кривая возрастает на интервале $(-3; 1)$, достигает гладкого максимума в точке $x=1$, а затем убывает на интервале $(1; 5)$.

б)

Проанализируем заданные свойства функции $f(x)$:

• Область определения $D(f) = [-3; 5]$.
• Производная $f'(x) < 0$ при $x \in (-3; 1)$. На этом интервале функция убывает.
• Производная $f'(x) > 0$ при $x \in (1; 5)$. На этом интервале функция возрастает.
• Функция $f$ не имеет производной в точке $1$. Это означает, что в точке $x=1$ график имеет излом (угол или "клюв").

Из анализа знаков производной следует, что в точке $x=1$ функция переходит от убывания к возрастанию. Следовательно, $x=1$ является точкой локального минимума. Поскольку производная в этой точке не существует, минимум будет острым (в виде "угла").

Эскиз графика можно построить следующим образом:

1. На оси абсцисс отмечаем отрезок $[-3; 5]$.
2. Выбираем начальную точку, например, $(-3, 5)$.
3. От этой точки ведем кривую вниз до точки $x=1$. В точке $x=1$ функция достигает своего минимума. Пусть, для примера, $f(1) = 1$. Точка $(1, 1)$ будет вершиной угла.
4. От точки минимума $(1, 1)$ ведем кривую вверх до конца отрезка в точке $x=5$. Значение $f(5)$ может быть как выше, так и ниже $f(-3)$. Например, можно взять точку $(5, 4)$.

Ответ: Эскиз представляет собой кривую, определенную на отрезке $[-3; 5]$. Кривая убывает на интервале $(-3; 1)$, достигает минимума в точке $x=1$, где график имеет излом (угол), а затем возрастает на интервале $(1; 5)$.

в)

Проанализируем заданные свойства функции $f(x)$:

• Область определения $D(f) = [a; b]$.
• $x_1$ — точка минимума, $x_2$ — точка максимума. Это локальные экстремумы, которые находятся внутри интервала $(a, b)$.
• $f(a) > f(b)$. Значение функции в левой граничной точке больше, чем в правой.

Для построения эскиза необходимо расположить точки минимума и максимума внутри отрезка $[a, b]$. Возможны два варианта их взаимного расположения: $a < x_1 < x_2 < b$ или $a < x_2 < x_1 < b$. Рассмотрим первый случай: $a < x_1 < x_2 < b$.

Эскиз графика можно построить следующим образом:

1. На оси абсцисс отмечаем отрезок $[a, b]$.
2. Выбираем начальную точку $(a, f(a))$.
3. От точки $(a, f(a))$ ведем кривую вниз до точки минимума $x_1$. В точке $(x_1, f(x_1))$ функция достигает локального минимума.
4. От точки минимума ведем кривую вверх до точки максимума $x_2$. В точке $(x_2, f(x_2))$ функция достигает локального максимума. Естественно, $f(x_2) > f(x_1)$.
5. От точки максимума ведем кривую вниз до конечной точки $(b, f(b))$.
6. При построении необходимо соблюсти условие $f(a) > f(b)$. Это означает, что точка $(a, f(a))$ на графике должна быть расположена выше, чем точка $(b, f(b))$. Экстремумы для простоты можно нарисовать гладкими.

Ответ: Эскиз представляет собой кривую на отрезке $[a, b]$, которая начинается в точке $(a, f(a))$, убывает до точки локального минимума $x_1$, затем возрастает до точки локального максимума $x_2$ и снова убывает до точки $(b, f(b))$, причём точка $(a, f(a))$ находится выше точки $(b, f(b))$.

г)

Проанализируем заданные свойства функции $f(x)$:

• Область определения $D(f) = [a; b]$.
• $x_1$ — точка максимума, $x_2$ — точка минимума. Это локальные экстремумы внутри интервала $(a, b)$.
• $f(a) = f(b)$. Значения функции в граничных точках отрезка равны.

Как и в предыдущем пункте, возможно два варианта расположения экстремумов. Рассмотрим случай $a < x_1 < x_2 < b$.

Эскиз графика можно построить следующим образом:

1. На оси абсцисс отмечаем отрезок $[a, b]$.
2. Выбираем начальную точку $(a, f(a))$ и конечную точку $(b, f(b))$ на одной и той же высоте, так как $f(a) = f(b)$.
3. От точки $(a, f(a))$ ведем кривую вверх до точки локального максимума $x_1$. Точка $(x_1, f(x_1))$ будет самой высокой точкой в своей окрестности, и $f(x_1) > f(a)$.
4. От точки максимума ведем кривую вниз до точки локального минимума $x_2$. Точка $(x_2, f(x_2))$ будет самой низкой точкой в своей окрестности. Значение $f(x_2)$ может быть как ниже, так и выше уровня $f(a) = f(b)$.
5. От точки минимума ведем кривую вверх так, чтобы она пришла в точку $(b, f(b))$.

В результате получается волнообразная кривая, начинающаяся и заканчивающаяся на одном уровне. Экстремумы для простоты можно нарисовать гладкими.

Ответ: Эскиз представляет собой кривую на отрезке $[a, b]$. Кривая начинается в точке $(a, f(a))$, возрастает до точки локального максимума $x_1$, затем убывает до точки локального минимума $x_2$ и снова возрастает до точки $(b, f(b))$. При этом начальная и конечная точки графика находятся на одной высоте, то есть $f(a) = f(b)$.