Номер 296, страница 154 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 296, страница 154.

Условие.

Исследуйте функцию и постройте ее график (296–297).

296.—

а) $f(x) = x^2 - 2x + 8;$

б) $f(x) = -\frac{2x^2}{3} + x + \frac{2}{3};$

в) $f(x) = -x^2 + 5x + 4;$

г) $f(x) = \frac{x^2}{4} + \frac{x}{16} + \frac{1}{4}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) $f(x) = x^2 - 2x + 8$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.

2. График функции — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

3. Координаты вершины параболы:

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Ордината вершины: $y_v = f(x_v) = f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 8 = 1 - 2 + 8 = 7$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 7)$.

4. Ось симметрии параболы — вертикальная прямая $x = x_v$, то есть $x = 1$.

5. Точки пересечения с осями координат:

С осью OY: $x=0$, $f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 + 8 = 8$. Точка пересечения — $(0, 8)$.

С осью OX: $f(x)=0$, $x^2 - 2x + 8 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось OX. Это согласуется с тем, что вершина находится в точке $(1, 7)$, а ветви направлены вверх.

6. Свойства функции:

Функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

Наименьшее значение функции достигается в вершине: $y_{min} = 7$.

Область значений функции: $E(f) = [7; +\infty)$.

7. Построение графика:

Для построения графика отметим вершину $(1, 7)$, точку пересечения с осью OY $(0, 8)$ и симметричную ей точку $(2, 8)$ относительно оси симметрии $x=1$. Через эти точки проводим параболу.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(1, 7)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии $x=1$. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 8)$ и не пересекает ось OX.

б) $f(x) = -\frac{2x^2}{3} + x + \frac{2}{3}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. График функции — парабола. Коэффициент $a = -2/3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Координаты вершины параболы:

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-2/3)} = -\frac{1}{-4/3} = \frac{3}{4}$.

Ордината вершины: $y_v = f(3/4) = -\frac{2}{3}(\frac{3}{4})^2 + \frac{3}{4} + \frac{2}{3} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{16} + \frac{3}{4} + \frac{2}{3} = -\frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{2}{3} = \frac{3}{8} + \frac{2}{3} = \frac{9+16}{24} = \frac{25}{24}$.

Вершина параболы: $(\frac{3}{4}, \frac{25}{24})$.

4. Ось симметрии параболы: $x = 3/4$.

5. Точки пересечения с осями координат:

С осью OY: $x=0$, $f(0) = -\frac{2 \cdot 0^2}{3} + 0 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$. Точка пересечения — $(0, 2/3)$.

С осью OX: $f(x)=0$, $-\frac{2}{3}x^2 + x + \frac{2}{3} = 0$. Умножим уравнение на $-3/2$: $x^2 - \frac{3}{2}x - 1 = 0$. Или, умножив исходное на 3: $-2x^2+3x+2=0 \implies 2x^2-3x-2=0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$.

$x_1 = \frac{3+5}{4} = 2$, $x_2 = \frac{3-5}{4} = -\frac{1}{2}$. Точки пересечения — $(2, 0)$ и $(-1/2, 0)$.

6. Свойства функции:

Функция возрастает на $(-\infty, 3/4]$ и убывает на $[3/4, +\infty)$.

Наибольшее значение: $y_{max} = 25/24$.

Область значений: $E(f) = (-\infty; 25/24]$.

7. Построение графика:

Отмечаем вершину $(0.75, 1.04)$, точки пересечения с осями $(-0.5, 0)$, $(2, 0)$ и $(0, 2/3)$. Через эти точки проводим параболу.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(\frac{3}{4}, \frac{25}{24})$, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии $x=3/4$. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 2/3)$ и ось OX в точках $(-1/2, 0)$ и $(2, 0)$.

в) $f(x) = -x^2 + 5x + 4$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. График функции — парабола. Коэффициент $a = -1 < 0$, ветви направлены вниз.

3. Координаты вершины параболы:

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot (-1)} = \frac{5}{2} = 2.5$.

Ордината вершины: $y_v = f(2.5) = -(2.5)^2 + 5 \cdot 2.5 + 4 = -6.25 + 12.5 + 4 = 10.25$.

Вершина параболы: $(2.5, 10.25)$.

4. Ось симметрии параболы: $x = 2.5$.

5. Точки пересечения с осями координат:

С осью OY: $x=0$, $f(0) = -0^2 + 5 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка пересечения — $(0, 4)$.

С осью OX: $f(x)=0$, $-x^2 + 5x + 4 = 0 \implies x^2 - 5x - 4 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25 + 16 = 41$.

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$.

Точки пересечения: $(\frac{5 - \sqrt{41}}{2}, 0)$ и $(\frac{5 + \sqrt{41}}{2}, 0)$. (Приблизительно $(-0.7, 0)$ и $(5.7, 0)$).

6. Свойства функции:

Функция возрастает на $(-\infty, 2.5]$ и убывает на $[2.5, +\infty)$.

Наибольшее значение: $y_{max} = 10.25$.

Область значений: $E(f) = (-\infty; 10.25]$.

7. Построение графика:

Отмечаем вершину $(2.5, 10.25)$, точку пересечения с осью OY $(0, 4)$ и симметричную ей точку $(5, 4)$. Также отмечаем точки пересечения с осью OX. Через эти точки проводим параболу.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2.5, 10.25)$, ветви которой направлены вниз. Ось симметрии $x=2.5$. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 4)$ и ось OX в точках $(\frac{5 - \sqrt{41}}{2}, 0)$ и $(\frac{5 + \sqrt{41}}{2}, 0)$.

г) $f(x) = \frac{x^2}{4} + \frac{x}{16} + \frac{1}{4}$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. График функции — парабола. Коэффициент $a = 1/4 > 0$, ветви направлены вверх.

3. Координаты вершины параболы:

Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1/16}{2 \cdot (1/4)} = -\frac{1/16}{1/2} = -\frac{1}{8}$.

Ордината вершины: $y_v = f(-1/8) = \frac{1}{4}(-\frac{1}{8})^2 + \frac{1}{16}(-\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} = \frac{1}{4 \cdot 64} - \frac{1}{128} + \frac{1}{4} = \frac{1}{256} - \frac{2}{256} + \frac{64}{256} = \frac{63}{256}$.

Вершина параболы: $(-\frac{1}{8}, \frac{63}{256})$.

4. Ось симметрии параболы: $x = -1/8$.

5. Точки пересечения с осями координат:

С осью OY: $x=0$, $f(0) = \frac{0^2}{4} + \frac{0}{16} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$. Точка пересечения — $(0, 1/4)$.

С осью OX: $f(x)=0$, $\frac{x^2}{4} + \frac{x}{16} + \frac{1}{4} = 0$. Умножим на 16: $4x^2 + x + 4 = 0$.

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 1 - 64 = -63$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет, парабола не пересекает ось OX.

6. Свойства функции:

Функция убывает на $(-\infty, -1/8]$ и возрастает на $[-1/8, +\infty)$.

Наименьшее значение: $y_{min} = 63/256$.

Область значений: $E(f) = [63/256; +\infty)$.

7. Построение графика:

Отмечаем вершину $(-1/8, 63/256) \approx (-0.125, 0.246)$, точку пересечения с OY $(0, 1/4) = (0, 0.25)$ и симметричную ей точку $(-1/4, 1/4) = (-0.25, 0.25)$. Через эти точки проводим параболу.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-\frac{1}{8}, \frac{63}{256})$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии $x=-1/8$. Парабола пересекает ось OY в точке $(0, 1/4)$ и не пересекает ось OX.