Номер 292, страница 150 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 6. Применения производной к исследованию функции. Глава 2. Производная и её применения - номер 292, страница 150.

Условие.

Найдите критические точки функции f (292—293).

292. a) $f(x) = \sin^2 x - \cos x$;

б) $f(x) = 2x + \frac{8}{x^2}$;

в) $f(x) = 10 \cos x + \sin 2x - 6x$;

г) $f(x) = x^3 - 4x + 8$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Критические точки функции – это внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

а) $f(x) = \sin^2 x - \cos x$

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел $x$, так как функции $\sin x$ и $\cos x$ определены на всей числовой прямой. Таким образом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной. Найдем производную функции $f(x)$ по правилам дифференцирования сложной функции и суммы функций:

$f'(x) = (\sin^2 x - \cos x)' = (\sin^2 x)' - (\cos x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' - (-\sin x) = 2\sin x \cos x + \sin x$.

Производная $f'(x)$ определена для всех $x$ из области определения функции.

3. Нахождение критических точек. Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$2\sin x \cos x + \sin x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2\cos x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\sin x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\cos x + 1 = 0$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Решения этого уравнения: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем все критические точки функции.

Ответ: $x = \pi n$, $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $f(x) = 2x + \frac{8}{x^2}$

1. Область определения. Функция определена для всех $x$, кроме тех, где знаменатель обращается в ноль. $x^2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Нахождение производной. Представим функцию в виде $f(x) = 2x + 8x^{-2}$ и найдем производную:

$f'(x) = (2x + 8x^{-2})' = 2 + 8 \cdot (-2)x^{-3} = 2 - 16x^{-3} = 2 - \frac{16}{x^3}$.

Производная $f'(x)$ не существует в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения исходной функции, поэтому она не является критической.

3. Нахождение критических точек. Приравняем производную к нулю:

$2 - \frac{16}{x^3} = 0$

$2 = \frac{16}{x^3}$

$2x^3 = 16$

$x^3 = 8$

$x = 2$

Точка $x=2$ входит в область определения функции, следовательно, является критической точкой.

Ответ: $x = 2$.

в) $f(x) = 10 \cos x + \sin 2x - 6x$

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел $x$, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной.

$f'(x) = (10 \cos x + \sin 2x - 6x)' = -10\sin x + 2\cos 2x - 6$.

Производная определена для всех $x$. Для решения уравнения $f'(x)=0$ используем формулу двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$f'(x) = -10\sin x + 2(1 - 2\sin^2 x) - 6 = -10\sin x + 2 - 4\sin^2 x - 6 = -4\sin^2 x - 10\sin x - 4$.

3. Нахождение критических точек. Приравняем производную к нулю:

$-4\sin^2 x - 10\sin x - 4 = 0$

Умножим обе части на -1 и разделим на 2:

$2\sin^2 x + 5\sin x + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 + 5t + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $t$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$t_1 = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

$t_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Вернемся к замене. Первый корень $t_1 = -2$ не подходит, так как $|\sin x| \le 1$.

Рассмотрим второй корень:

$\sin x = -\frac{1}{2}$

Решения этого уравнения: $x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k(-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) $f(x) = x^3 - 4x + 8$

1. Область определения. Это многочлен, поэтому он определен для всех действительных чисел $x$, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной.

$f'(x) = (x^3 - 4x + 8)' = 3x^2 - 4$.

Производная $f'(x)$ существует на всей области определения.

3. Нахождение критических точек. Приравняем производную к нулю:

$3x^2 - 4 = 0$

$3x^2 = 4$

$x^2 = \frac{4}{3}$

$x = \pm\sqrt{\frac{4}{3}} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Обе точки являются критическими.

Ответ: $x = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$, $x = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.