Страница 150 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

287.— Найдите критические точки функции, график которой изображен на рисунке 109.

$y$
$x_1$ $x_2$ $0$ $x_3$ $x_4$ $x_5$ $x$

$y$
$x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_4$ $x_5$ $0$ $x_6$ $x_7$ $x_8$ $x_9$ $x$

Рис. 109

Критическими точками функции называются внутренние точки её области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Для левого графика:

Область определения функции — отрезок $[x_1, x_5]$. Внутренними точками являются точки интервала $(x_1, x_5)$.

1. В точках $x_2$, $0$ и $x_3$ график имеет гладкие экстремумы (максимумы и минимум). Касательная к графику в этих точках горизонтальна, следовательно, производная в них равна нулю: $f'(x_2) = 0$, $f'(0) = 0$, $f'(x_3) = 0$. Эти точки являются критическими.

2. В точке $x_4$ график имеет излом (острый минимум). В таких точках функция является непрерывной, но недифференцируемой, то есть производная не существует. Следовательно, $x_4$ — критическая точка.

3. Точки $x_1$ и $x_5$ являются концами отрезка (граничными точками области определения) и по определению не являются критическими точками.

Ответ: $x_2, 0, x_3, x_4$.

Для правого графика:

Область определения функции — отрезок $[x_1, x_9]$. Внутренними точками являются точки интервала $(x_1, x_9)$.

1. В точке $x_2$ график имеет излом (острый минимум). Производная в этой точке не существует, поэтому $x_2$ — критическая точка.

2. В точках $x_4$ и $x_5$ график также имеет изломы, поэтому производная в этих точках не существует. Они являются критическими точками.

3. На всем интервале $(x_4, x_5)$ график функции является отрезком горизонтальной прямой. Это означает, что производная в каждой точке этого интервала равна нулю. Следовательно, все точки интервала $(x_4, x_5)$ являются критическими.

4. Объединяя пункты 2 и 3, получаем, что все точки отрезка $[x_4, x_5]$ являются критическими.

5. В точке $x_7$ касательная к графику горизонтальна (это точка перегиба с горизонтальной касательной), поэтому производная в этой точке равна нулю: $f'(x_7) = 0$. Следовательно, $x_7$ — критическая точка.

6. Точки $x_1$ и $x_9$ — граничные точки области определения. В точках $x_3$, $x_6$, $x_8$ производная существует и не равна нулю (касательные не горизонтальны). Поэтому эти точки не являются критическими.

Ответ: $x_2$, все точки отрезка $[x_4, x_5]$, $x_7$.

288.— Найдите критические точки функции:

a) $f(x) = 4 - 2x + 7x^2$;

б) $f(x) = 1 + \cos 2x$;

в) $f(x) = x - 2 \sin x$;

г) $f(x) = 4x - \frac{x^3}{3}$.

Критические точки функции – это внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует. Все представленные функции определены и дифференцируемы на всей числовой оси, поэтому для нахождения их критических точек необходимо найти производную каждой функции и приравнять ее к нулю.

а)Дана функция $f(x) = 4 - 2x + 7x^2$.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (4 - 2x + 7x^2)' = 0 - 2 + 7 \cdot 2x = 14x - 2$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$14x - 2 = 0$
$14x = 2$
$x = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$.
Ответ: $x = \frac{1}{7}$.

б)Дана функция $f(x) = 1 + \cos 2x$.
Найдем ее производную, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (1 + \cos 2x)' = 0 - \sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin 2x$.
Приравняем производную к нулю:
$-2\sin 2x = 0$
$\sin 2x = 0$.
Решением этого тригонометрического уравнения является серия корней:
$2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n – любое целое число).
$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

в)Дана функция $f(x) = x - 2 \sin x$.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (x - 2 \sin x)' = 1 - 2 \cos x$.
Приравняем производную к нулю:
$1 - 2 \cos x = 0$
$2 \cos x = 1$
$\cos x = \frac{1}{2}$.
Решением этого тригонометрического уравнения является серия корней:
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

г)Дана функция $f(x) = 4x - \frac{x^3}{3}$.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (4x - \frac{x^3}{3})' = 4 - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = 4 - x^2$.
Приравняем производную к нулю:
$4 - x^2 = 0$
$x^2 = 4$
$x = \pm 2$.
Ответ: $x = -2, x = 2$.

289.- Найдите точки максимума и минимума функции $f$, график которой изображен на рисунке 110. Существует ли производная в соответствующей точке? Если существует, то чему равно ее значение?

Рис. 110

Для левого графика

Точки экстремума — это точки локального максимума («вершины») и минимума («впадины») функции. Производная функции в точке существует, если график в этой точке гладкий (не имеет изломов) и касательная не является вертикальной. Если производная существует в точке экстремума, то она равна нулю (теорема Ферма).

• Точка $x_1$ является точкой минимума. График в этой точке гладкий, касательная к нему горизонтальна. Следовательно, производная в точке $x_1$ существует и ее значение равно $f'(x_1) = 0$.
• Точка $x_2$ является точкой максимума. График в этой точке также гладкий, а касательная горизонтальна. Следовательно, производная в точке $x_2$ существует и $f'(x_2) = 0$.
• Точка $x_3$ является точкой минимума. График гладкий, касательная горизонтальна. Производная существует и $f'(x_3) = 0$.
• Точка $x_4$ является точкой максимума. График гладкий, касательная горизонтальна. Производная существует и $f'(x_4) = 0$.

Ответ: Точки минимума — $x_1, x_3$. Точки максимума — $x_2, x_4$. Производная в каждой из этих точек существует и равна нулю.

Для правого графика

Проанализируем точки экстремума на правом графике, используя те же принципы.

• Точка $x_1$ является точкой максимума. В этой точке график имеет излом (острый пик). В такой точке нельзя провести единственную касательную, поэтому производная не существует.
• Точка $x_2$ является точкой минимума. График в этой точке гладкий, касательная к нему горизонтальна. Следовательно, производная в точке $x_2$ существует и ее значение равно $f'(x_2) = 0$.
• Точка $x_3$ является точкой максимума. График в этой точке также гладкий, касательная горизонтальна. Производная существует и $f'(x_3) = 0$.
• Точка $x_4$ является точкой минимума. В этой точке график снова имеет излом. Поэтому производная в точке $x_4$ не существует.

Ответ: Точки максимума — $x_1, x_3$. Точки минимума — $x_2, x_4$. Производная существует в точках $x_2$ и $x_3$, и ее значение там равно нулю ($f'(x_2)=0, f'(x_3)=0$). В точках $x_1$ и $x_4$ производная не существует.

290.- Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, а какие — точками минимума:

а) $f(x) = 5 + 12x - x^3$;

б) $f(x) = 9 + 8x^2 - x^4$;

в) $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4$;

г) $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^2$.

а) $f(x) = 5 + 12x - x^3$

1. Чтобы найти критические точки, сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (5 + 12x - x^3)' = 12 - 3x^2$.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки. Поскольку функция является многочленом, она дифференцируема на всей числовой оси, и ее критические точки — это только стационарные точки.

$12 - 3x^2 = 0$

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

3. Определим знаки производной $f'(x) = -3(x-2)(x+2)$ на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.

- На интервале $(-\infty; -2)$, например, в точке $x = -3$, производная $f'(-3) = 12 - 3(-3)^2 = 12 - 27 = -15 < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(-2; 2)$, например, в точке $x = 0$, производная $f'(0) = 12 - 3(0)^2 = 12 > 0$. Функция возрастает.

- На интервале $(2; +\infty)$, например, в точке $x = 3$, производная $f'(3) = 12 - 3(3)^2 = 12 - 27 = -15 < 0$. Функция убывает.

4. В точке $x = -2$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

В точке $x = 2$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.

Ответ: $x_{min} = -2$ — точка минимума, $x_{max} = 2$ — точка максимума.

б) $f(x) = 9 + 8x^2 - x^4$

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (9 + 8x^2 - x^4)' = 16x - 4x^3$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$16x - 4x^3 = 0$

$4x(4 - x^2) = 0$

$4x(2 - x)(2 + x) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$, $x_3 = 2$.

3. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.

- При $x < -2$ (например, $x = -3$): $f'(-3) = 16(-3) - 4(-3)^3 = -48 + 108 = 60 > 0$. Функция возрастает.

- При $-2 < x < 0$ (например, $x = -1$): $f'(-1) = 16(-1) - 4(-1)^3 = -16 + 4 = -12 < 0$. Функция убывает.

- При $0 < x < 2$ (например, $x = 1$): $f'(1) = 16(1) - 4(1)^3 = 16 - 4 = 12 > 0$. Функция возрастает.

- При $x > 2$ (например, $x = 3$): $f'(3) = 16(3) - 4(3)^3 = 48 - 108 = -60 < 0$. Функция убывает.

4. В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума.

В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума.

Ответ: $x_{min} = 0$ — точка минимума, $x_{max} = -2$ и $x_{max} = 2$ — точки максимума.

в) $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4$

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 4)' = 6x^2 + 6x$.

2. Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$6x^2 + 6x = 0$

$6x(x + 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

3. Определим знаки производной $f'(x) = 6x(x+1)$ на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$.

- На интервале $(-\infty; -1)$, например, при $x=-2$: $f'(-2) = 6(-2)(-2+1) = 12 > 0$. Функция возрастает.

- На интервале $(-1; 0)$, например, при $x=-0.5$: $f'(-0.5) = 6(-0.5)(-0.5+1) = -1.5 < 0$. Функция убывает.

- На интервале $(0; +\infty)$, например, при $x=1$: $f'(1) = 6(1)(1+1) = 12 > 0$. Функция возрастает.

4. В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.

Ответ: $x_{max} = -1$ — точка максимума, $x_{min} = 0$ — точка минимума.

г) $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^2$

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{2}x^4 - x^2)' = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 - 2x = 2x^3 - 2x$.

2. Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$2x^3 - 2x = 0$

$2x(x^2 - 1) = 0$

$2x(x - 1)(x + 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$, $x_3 = 1$.

3. Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

- При $x < -1$ (например, $x = -2$): $f'(-2) = 2(-2)^3 - 2(-2) = -16 + 4 = -12 < 0$. Функция убывает.

- При $-1 < x < 0$ (например, $x = -0.5$): $f'(-0.5) = 2(-0.5)^3 - 2(-0.5) = -0.25 + 1 = 0.75 > 0$. Функция возрастает.

- При $0 < x < 1$ (например, $x = 0.5$): $f'(0.5) = 2(0.5)^3 - 2(0.5) = 0.25 - 1 = -0.75 < 0$. Функция убывает.

- При $x > 1$ (например, $x = 2$): $f'(2) = 2(2)^3 - 2(2) = 16 - 4 = 12 > 0$. Функция возрастает.

4. В точке $x = -1$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума.

В точке $x = 1$ производная меняет знак с «-» на «+», это точка минимума.

Ответ: $x_{min} = -1$ и $x_{min} = 1$ — точки минимума, $x_{max} = 0$ — точка максимума.

291. Докажите, что функция $f$ не имеет критических точек:

a) $f(x) = \sqrt{x}$;

б) $f(x) = \operatorname{tg} x$;

в) $f(x) = 3x - 7$;

г) $f(x) = 3x^5 + 2x.$

Критическими точками функции называются внутренние точки её области определения, в которых производная этой функции равна нулю или не существует. Для доказательства отсутствия критических точек у заданных функций необходимо найти их производные и проанализировать их на соответствие этому определению.

а) $f(x) = \sqrt{x}$

Область определения функции: $D(f) = [0, +\infty)$. Внутренними точками этой области являются точки из интервала $(0, +\infty)$. Точка $x=0$ является граничной, а не внутренней точкой.

Находим производную функции: $f'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Проанализируем производную:

• Уравнение $f'(x) = 0$, то есть $\frac{1}{2\sqrt{x}} = 0$, не имеет решений, так как числитель дроби равен 1.
• Производная не существует при $x=0$, так как знаменатель обращается в ноль.

Точка $x=0$ является единственным кандидатом в критические точки. Однако, как было указано, $x=0$ не является внутренней точкой области определения функции. Следовательно, по определению, она не может быть критической точкой.

Ответ: Функция не имеет критических точек, так как ее производная нигде не равна нулю, а единственная точка, где производная не существует ($x=0$), не является внутренней точкой области определения.

б) $f(x) = \tg x$

Область определения функции: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Все точки из области определения являются внутренними.

Находим производную функции: $f'(x) = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Проанализируем производную:

• Уравнение $f'(x) = 0$, то есть $\frac{1}{\cos^2 x} = 0$, не имеет решений, так как числитель равен 1.
• Производная не существует, когда $\cos^2 x = 0$, то есть при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Точки, в которых производная не существует, не входят в область определения самой функции $f(x) = \tg x$. Таким образом, в области определения функции ее производная везде существует и нигде не равна нулю.

Ответ: Функция не имеет критических точек, так как ее производная определена и не равна нулю во всех точках области определения функции.

в) $f(x) = 3x - 7$

Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними.

Находим производную функции: $f'(x) = (3x - 7)' = 3$.

Производная является константой. Уравнение $f'(x) = 0$, то есть $3=0$, не имеет решений. Производная существует при всех значениях $x$.

Так как не существует точек, где производная равна нулю или не существует, у функции нет критических точек.

Ответ: Функция не имеет критических точек, так как ее производная $f'(x)=3$ существует и не равна нулю при любых значениях $x$.

г) $f(x) = 3x^5 + 2x$

Область определения функции: $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Все точки области определения являются внутренними.

Находим производную функции: $f'(x) = (3x^5 + 2x)' = 15x^4 + 2$.

Проанализируем производную:

• Приравняем производную к нулю: $15x^4 + 2 = 0$. Это приводит к уравнению $x^4 = -\frac{2}{15}$. Так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, это уравнение не имеет действительных решений.
• Производная $f'(x) = 15x^4 + 2$ существует для всех $x \in \mathbb{R}$.

Так как не существует точек, где производная равна нулю или не существует, у функции нет критических точек.

Ответ: Функция не имеет критических точек, так как ее производная $f'(x) = 15x^4 + 2$ существует при любых значениях $x$ и всегда положительна (поскольку $15x^4 \ge 0$, то $15x^4+2 \ge 2$), следовательно, она никогда не обращается в ноль.

Найдите критические точки функции f (292—293).

292. a) $f(x) = \sin^2 x - \cos x$;

б) $f(x) = 2x + \frac{8}{x^2}$;

в) $f(x) = 10 \cos x + \sin 2x - 6x$;

г) $f(x) = x^3 - 4x + 8$.

Критические точки функции – это внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

а) $f(x) = \sin^2 x - \cos x$

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел $x$, так как функции $\sin x$ и $\cos x$ определены на всей числовой прямой. Таким образом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной. Найдем производную функции $f(x)$ по правилам дифференцирования сложной функции и суммы функций:

$f'(x) = (\sin^2 x - \cos x)' = (\sin^2 x)' - (\cos x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' - (-\sin x) = 2\sin x \cos x + \sin x$.

Производная $f'(x)$ определена для всех $x$ из области определения функции.

3. Нахождение критических точек. Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

$2\sin x \cos x + \sin x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2\cos x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\sin x = 0$

Решения этого уравнения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\cos x + 1 = 0$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

Решения этого уравнения: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем все критические точки функции.

Ответ: $x = \pi n$, $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $f(x) = 2x + \frac{8}{x^2}$

1. Область определения. Функция определена для всех $x$, кроме тех, где знаменатель обращается в ноль. $x^2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Нахождение производной. Представим функцию в виде $f(x) = 2x + 8x^{-2}$ и найдем производную:

$f'(x) = (2x + 8x^{-2})' = 2 + 8 \cdot (-2)x^{-3} = 2 - 16x^{-3} = 2 - \frac{16}{x^3}$.

Производная $f'(x)$ не существует в точке $x=0$, но эта точка не входит в область определения исходной функции, поэтому она не является критической.

3. Нахождение критических точек. Приравняем производную к нулю:

$2 - \frac{16}{x^3} = 0$

$2 = \frac{16}{x^3}$

$2x^3 = 16$

$x^3 = 8$

$x = 2$

Точка $x=2$ входит в область определения функции, следовательно, является критической точкой.

Ответ: $x = 2$.

в) $f(x) = 10 \cos x + \sin 2x - 6x$

1. Область определения. Функция определена для всех действительных чисел $x$, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной.

$f'(x) = (10 \cos x + \sin 2x - 6x)' = -10\sin x + 2\cos 2x - 6$.

Производная определена для всех $x$. Для решения уравнения $f'(x)=0$ используем формулу двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$f'(x) = -10\sin x + 2(1 - 2\sin^2 x) - 6 = -10\sin x + 2 - 4\sin^2 x - 6 = -4\sin^2 x - 10\sin x - 4$.

3. Нахождение критических точек. Приравняем производную к нулю:

$-4\sin^2 x - 10\sin x - 4 = 0$

Умножим обе части на -1 и разделим на 2:

$2\sin^2 x + 5\sin x + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 + 5t + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $t$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$t_1 = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$

$t_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Вернемся к замене. Первый корень $t_1 = -2$ не подходит, так как $|\sin x| \le 1$.

Рассмотрим второй корень:

$\sin x = -\frac{1}{2}$

Решения этого уравнения: $x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k(-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1}\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

г) $f(x) = x^3 - 4x + 8$

1. Область определения. Это многочлен, поэтому он определен для всех действительных чисел $x$, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной.

$f'(x) = (x^3 - 4x + 8)' = 3x^2 - 4$.

Производная $f'(x)$ существует на всей области определения.

3. Нахождение критических точек. Приравняем производную к нулю:

$3x^2 - 4 = 0$

$3x^2 = 4$

$x^2 = \frac{4}{3}$

$x = \pm\sqrt{\frac{4}{3}} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Обе точки являются критическими.

Ответ: $x = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$, $x = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.