Страница 155 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

304.— Сколько корней имеет уравнение:

а) $4x^3 - 3x^2 - 36x - 10 = 0;$

б) $\frac{x^4}{4} - x^3 - \frac{x^2}{2} + 3x = 0;$

в) $x^4 - 4x^3 - 9 = 0;$

г) $x^2 - \frac{x^3}{3} - 1 = 0?$

а) Чтобы определить количество корней уравнения $4x^3 - 3x^2 - 36x - 10 = 0$, исследуем функцию $f(x) = 4x^3 - 3x^2 - 36x - 10$ с помощью производной. Количество действительных корней уравнения равно числу точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

1. Найдем производную функции:
$f'(x) = (4x^3 - 3x^2 - 36x - 10)' = 12x^2 - 6x - 36$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$12x^2 - 6x - 36 = 0$.
Разделим уравнение на 6 для упрощения:
$2x^2 - x - 6 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
Корни:
$x_1 = \frac{1 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5$.
$x_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.

3. Определим знаки производной на интервалах, чтобы найти точки максимума и минимума. График $f'(x)$ — парабола с ветвями вверх, поэтому $f'(x) > 0$ при $x \in (-\infty; -1.5) \cup (2; +\infty)$ и $f'(x) < 0$ при $x \in (-1.5; 2)$.
Следовательно, в точке $x = -1.5$ функция $f(x)$ имеет локальный максимум, а в точке $x = 2$ — локальный минимум.

4. Вычислим значения функции в точках экстремума:
$f(-1.5) = 4(-1.5)^3 - 3(-1.5)^2 - 36(-1.5) - 10 = 4(-3.375) - 3(2.25) + 54 - 10 = -13.5 - 6.75 + 44 = 23.75$.
$f(2) = 4(2)^3 - 3(2)^2 - 36(2) - 10 = 4(8) - 3(4) - 72 - 10 = 32 - 12 - 72 - 10 = -62$.

5. Локальный максимум $f(-1.5) = 23.75 > 0$, а локальный минимум $f(2) = -62 < 0$.
Так как функция непрерывна, а ее локальный максимум положителен, а локальный минимум отрицателен, график функции пересекает ось $x$ в трех точках:
- один корень на интервале $(-\infty; -1.5)$;
- один корень на интервале $(-1.5; 2)$;
- один корень на интервале $(2; +\infty)$.
Следовательно, уравнение имеет три действительных корня.

Ответ: 3 корня.

б) Рассмотрим уравнение $\frac{x^4}{4} - x^3 - \frac{x^2}{2} + 3x = 0$.

1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(\frac{x^3}{4} - x^2 - \frac{x}{2} + 3) = 0$.
Отсюда сразу получаем один корень $x_1 = 0$.

2. Теперь решим уравнение $\frac{x^3}{4} - x^2 - \frac{x}{2} + 3 = 0$. Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дробей:
$x^3 - 4x^2 - 2x + 12 = 0$.
Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена 12: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.
Подставим $x=2$:
$2^3 - 4(2^2) - 2(2) + 12 = 8 - 4(4) - 4 + 12 = 8 - 16 - 4 + 12 = 0$.
Значит, $x_2 = 2$ является корнем.

3. Разделим многочлен $x^3 - 4x^2 - 2x + 12$ на $(x-2)$:
$(x^3 - 4x^2 - 2x + 12) \div (x-2) = x^2 - 2x - 6$.
Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 2x - 6 = 0$.
$D = (-2)^2 - 4(1)(-6) = 4 + 24 = 28$.
$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$.
Таким образом, мы получили еще два корня: $x_3 = 1 - \sqrt{7}$ и $x_4 = 1 + \sqrt{7}$.

Все четыре корня ($0, 2, 1 - \sqrt{7}, 1 + \sqrt{7}$) являются действительными и различными.

Ответ: 4 корня.

в) Чтобы определить количество корней уравнения $x^4 - 4x^3 - 9 = 0$, исследуем функцию $f(x) = x^4 - 4x^3 - 9$.

1. Найдем производную:
$f'(x) = (x^4 - 4x^3 - 9)' = 4x^3 - 12x^2$.

2. Найдем критические точки:
$4x^3 - 12x^2 = 0$;
$4x^2(x - 3) = 0$.
Критические точки: $x = 0$ и $x = 3$.

3. Исследуем знак производной.
При $x < 0$, $f'(x) < 0$ (функция убывает).
При $0 < x < 3$, $f'(x) < 0$ (функция убывает).
При $x > 3$, $f'(x) > 0$ (функция возрастает).
Точка $x=0$ не является точкой экстремума (это точка перегиба). В точке $x=3$ функция достигает своего локального (и глобального) минимума.

4. Найдем значение функции в точке минимума:
$f(3) = 3^4 - 4(3^3) - 9 = 81 - 4(27) - 9 = 81 - 108 - 9 = -36$.

5. Проанализируем поведение функции.
При $x \to \pm\infty$, $f(x) \to +\infty$.
Функция убывает от $+\infty$ до своего минимального значения $f(3) = -36$, а затем возрастает до $+\infty$.
Так как минимальное значение функции отрицательно, а на бесконечностях функция стремится к $+\infty$, то график функции пересекает ось $x$ дважды.

Ответ: 2 корня.

г) Рассмотрим уравнение $x^2 - \frac{x^3}{3} - 1 = 0$. Перепишем его в стандартном виде и исследуем функцию $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 1$.

1. Найдем производную:
$f'(x) = (-\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 1)' = -x^2 + 2x$.

2. Найдем критические точки:
$-x^2 + 2x = 0$;
$-x(x - 2) = 0$.
Критические точки: $x = 0$ и $x = 2$.

3. График $f'(x)$ — парабола с ветвями вниз. $f'(x) < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$ и $f'(x) > 0$ при $x \in (0; 2)$.
Следовательно, в точке $x = 0$ функция имеет локальный минимум, а в точке $x = 2$ — локальный максимум.

4. Вычислим значения функции в точках экстремума:
$f(0) = -\frac{1}{3}(0)^3 + (0)^2 - 1 = -1$.
$f(2) = -\frac{1}{3}(2)^3 + (2)^2 - 1 = -\frac{8}{3} + 4 - 1 = -\frac{8}{3} + 3 = \frac{1}{3}$.

5. Локальный минимум $f(0) = -1 < 0$, а локальный максимум $f(2) = \frac{1}{3} > 0$.
Так как это кубическая функция, у которой значения в точках локального минимума и максимума имеют разные знаки, она пересекает ось абсцисс три раза.

Ответ: 3 корня.