Страница 160 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

324.-- Из всех прямоугольников, вписанных в окружность, найдите прямоугольник наибольшей площади.

Решение

Пусть в окружность радиуса $R$ вписан прямоугольник. Диагональ любого вписанного в окружность прямоугольника является ее диаметром. Обозначим диагональ как $d$. Таким образом, $d = 2R$.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника со сторонами $a$, $b$ и гипотенузой $d$. Согласно теореме Пифагора, мы имеем соотношение:

$a^2 + b^2 = d^2 = (2R)^2 = 4R^2$

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $S = a \cdot b$. Наша задача — найти такое соотношение между $a$ и $b$ (при фиксированном $R$), при котором площадь $S$ будет максимальной.

Выразим одну из сторон, например $a$, через другую сторону $b$ и радиус $R$ из теоремы Пифагора:

$a^2 = 4R^2 - b^2 \implies a = \sqrt{4R^2 - b^2}$

Подставим это выражение в формулу для площади, чтобы получить функцию площади от одной переменной $b$:

$S(b) = b \sqrt{4R^2 - b^2}$

Чтобы найти максимум этой функции, можно найти ее производную. Однако, чтобы упростить вычисления и избавиться от квадратного корня, мы можем максимизировать квадрат площади $S^2$. Функция $S(b)$ положительна, поэтому ее максимум будет достигаться при том же значении $b$, что и максимум функции $S^2(b)$.

Пусть $f(b) = S^2(b) = (b \sqrt{4R^2 - b^2})^2 = b^2(4R^2 - b^2) = 4R^2b^2 - b^4$.

Найдем производную функции $f(b)$ по $b$ и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

$f'(b) = \frac{d}{db}(4R^2b^2 - b^4) = 8R^2b - 4b^3$

$f'(b) = 0 \implies 8R^2b - 4b^3 = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $4b$:

$4b(2R^2 - b^2) = 0$

Поскольку $b$ является длиной стороны, $b$ не может быть равно нулю ($b>0$). Следовательно, мы можем приравнять к нулю выражение в скобках:

$2R^2 - b^2 = 0 \implies b^2 = 2R^2 \implies b = R\sqrt{2}$

Мы нашли значение стороны $b$, при котором площадь может быть максимальной. Теперь найдем соответствующее значение стороны $a$:

$a^2 = 4R^2 - b^2 = 4R^2 - 2R^2 = 2R^2 \implies a = R\sqrt{2}$

Таким образом, мы получили, что $a = b = R\sqrt{2}$. Это означает, что прямоугольник имеет равные стороны, то есть является квадратом. Именно в этом случае площадь будет наибольшей.

Ответ: Прямоугольник наибольшей площади, вписанный в окружность, — это квадрат.

325.- Покажите, что из всех треугольников, вписанных в данный круг, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

Для доказательства того, что из всех треугольников, вписанных в данный круг, наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник, мы выразим площадь треугольника через радиус описанной окружности и его углы, а затем найдем условия, при которых эта площадь максимальна.

Пусть имеется произвольный треугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Обозначим углы этого треугольника как $\alpha, \beta, \gamma$, а противолежащие им стороны как $a, b, c$ соответственно.

Площадь $S$ треугольника можно выразить через его стороны и радиус описанной окружности $R$ по формуле: $$ S = \frac{abc}{4R} $$

По теореме синусов, стороны треугольника связаны с его углами и радиусом описанной окружности следующим образом: $$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R $$ Из этой теоремы выразим стороны треугольника: $$ a = 2R \sin \alpha $$ $$ b = 2R \sin \beta $$ $$ c = 2R \sin \gamma $$

Теперь подставим эти выражения для сторон в формулу площади: $$ S = \frac{(2R \sin \alpha)(2R \sin \beta)(2R \sin \gamma)}{4R} = \frac{8R^3 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma}{4R} $$ $$ S = 2R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma $$

Поскольку радиус $R$ для данного круга является постоянной величиной, задача максимизации площади $S$ сводится к максимизации произведения синусов углов треугольника: $P = \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$. При этом на углы наложено ограничение: $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, где $\alpha, \beta, \gamma > 0$.

Для нахождения максимума произведения $P$ удобно использовать неравенство Йенсена. Рассмотрим функцию $f(x) = \ln(\sin x)$ на интервале $(0, \pi)$. Найдем ее вторую производную, чтобы определить ее выпуклость/вогнутость: $$ f'(x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x $$ $$ f''(x) = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x $$ Поскольку $\sin^2 x > 0$ для всех $x \in (0, \pi)$, вторая производная $f''(x)$ всегда отрицательна. Это означает, что функция $f(x) = \ln(\sin x)$ является строго вогнутой на интервале $(0, \pi)$.

Согласно неравенству Йенсена для вогнутой функции: $$ \frac{f(\alpha) + f(\beta) + f(\gamma)}{3} \le f\left(\frac{\alpha + \beta + \gamma}{3}\right) $$ Подставим нашу функцию и воспользуемся тем, что $\alpha + \beta + \gamma = \pi$: $$ \frac{\ln(\sin \alpha) + \ln(\sin \beta) + \ln(\sin \gamma)}{3} \le \ln\left(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) $$ Применяя свойства логарифмов, получаем: $$ \frac{1}{3}\ln(\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma) \le \ln\left(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) $$ $$ \ln\left((\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma)^{1/3}\right) \le \ln\left(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) $$ Так как логарифмическая функция является монотонно возрастающей, можно заключить: $$ (\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma)^{1/3} \le \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) $$ Возведя обе части в куб, получим: $$ \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \le \left(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)^3 $$

Равенство в неравенстве Йенсена для строго вогнутой функции достигается тогда и только тогда, когда все аргументы равны, то есть $\alpha = \beta = \gamma$. С учетом условия $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, получаем: $$ \alpha = \beta = \gamma = \frac{\pi}{3} $$ Это соответствует равностороннему треугольнику.

Таким образом, произведение синусов углов, а следовательно, и площадь треугольника $S$, достигает своего максимального значения именно тогда, когда треугольник является равносторонним.

Ответ: Наибольшую площадь из всех треугольников, вписанных в данный круг, имеет равносторонний треугольник.