Номер 324, страница 160 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 324, страница 160.

Условие.

324.-- Из всех прямоугольников, вписанных в окружность, найдите прямоугольник наибольшей площади.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Решение

Пусть в окружность радиуса $R$ вписан прямоугольник. Диагональ любого вписанного в окружность прямоугольника является ее диаметром. Обозначим диагональ как $d$. Таким образом, $d = 2R$.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника со сторонами $a$, $b$ и гипотенузой $d$. Согласно теореме Пифагора, мы имеем соотношение:

$a^2 + b^2 = d^2 = (2R)^2 = 4R^2$

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $S = a \cdot b$. Наша задача — найти такое соотношение между $a$ и $b$ (при фиксированном $R$), при котором площадь $S$ будет максимальной.

Выразим одну из сторон, например $a$, через другую сторону $b$ и радиус $R$ из теоремы Пифагора:

$a^2 = 4R^2 - b^2 \implies a = \sqrt{4R^2 - b^2}$

Подставим это выражение в формулу для площади, чтобы получить функцию площади от одной переменной $b$:

$S(b) = b \sqrt{4R^2 - b^2}$

Чтобы найти максимум этой функции, можно найти ее производную. Однако, чтобы упростить вычисления и избавиться от квадратного корня, мы можем максимизировать квадрат площади $S^2$. Функция $S(b)$ положительна, поэтому ее максимум будет достигаться при том же значении $b$, что и максимум функции $S^2(b)$.

Пусть $f(b) = S^2(b) = (b \sqrt{4R^2 - b^2})^2 = b^2(4R^2 - b^2) = 4R^2b^2 - b^4$.

Найдем производную функции $f(b)$ по $b$ и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

$f'(b) = \frac{d}{db}(4R^2b^2 - b^4) = 8R^2b - 4b^3$

$f'(b) = 0 \implies 8R^2b - 4b^3 = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $4b$:

$4b(2R^2 - b^2) = 0$

Поскольку $b$ является длиной стороны, $b$ не может быть равно нулю ($b>0$). Следовательно, мы можем приравнять к нулю выражение в скобках:

$2R^2 - b^2 = 0 \implies b^2 = 2R^2 \implies b = R\sqrt{2}$

Мы нашли значение стороны $b$, при котором площадь может быть максимальной. Теперь найдем соответствующее значение стороны $a$:

$a^2 = 4R^2 - b^2 = 4R^2 - 2R^2 = 2R^2 \implies a = R\sqrt{2}$

Таким образом, мы получили, что $a = b = R\sqrt{2}$. Это означает, что прямоугольник имеет равные стороны, то есть является квадратом. Именно в этом случае площадь будет наибольшей.

Ответ: Прямоугольник наибольшей площади, вписанный в окружность, — это квадрат.