Номер 320, страница 159 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 320, страница 159.

Условие.

320. Буровая вышка расположена в поле в 9 км от ближайшей точки шоссе. С буровой надо направить курьера в пункт, расположенный по шоссе в 15 км от упомянутой точки (считаем шоссе прямолинейным). Скорость курьера на велосипеде по полю 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время достигнуть пункта?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть прямая, по которой проходит шоссе, будет осью абсцисс ($Ox$). Точку на шоссе, ближайшую к буровой вышке, обозначим как $A$ и поместим ее в начало координат $(0, 0)$. Тогда буровая вышка $B$ будет иметь координаты $(0, 9)$. Пункт назначения $C$, расположенный на шоссе в 15 км от точки $A$, будет иметь координаты $(15, 0)$.

Курьер должен доехать из точки $B(0, 9)$ до некоторой точки $D$ на шоссе, а затем по шоссе до точки $C(15, 0)$. Пусть точка $D$ имеет координаты $(x, 0)$, где $x$ — расстояние от точки $A$ до точки $D$. Маршрут курьера состоит из двух участков: $BD$ (по полю) и $DC$ (по шоссе).

1. Участок по полю (BD):
Расстояние $S_1$ этого участка найдем по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABD$:
$S_1 = BD = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{x^2 + 9^2} = \sqrt{x^2 + 81}$ км.
Скорость курьера по полю $v_1 = 8$ км/ч.
Время, затраченное на этот участок: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{\sqrt{x^2 + 81}}{8}$ ч.

2. Участок по шоссе (DC):
Расстояние $S_2$ этого участка:
$S_2 = DC = AC - AD = 15 - x$ км.
Предполагаем, что точка $D$ находится между $A$ и $C$, то есть $0 \le x \le 15$.
Скорость курьера по шоссе $v_2 = 10$ км/ч.
Время, затраченное на этот участок: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{15 - x}{10}$ ч.

Общее время в пути:
Общее время $T$ является функцией от $x$ и равно сумме времен на обоих участках:
$T(x) = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{x^2 + 81}}{8} + \frac{15 - x}{10}$.

Чтобы найти кратчайшее время, необходимо найти значение $x$, при котором функция $T(x)$ достигает своего минимума на отрезке $[0, 15]$. Для этого найдем производную функции $T(x)$ и приравняем ее к нулю.

Поиск минимума функции:
$T'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sqrt{x^2 + 81}}{8} + \frac{15 - x}{10} \right) = \frac{1}{8} \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 81}} - \frac{1}{10} = \frac{x}{8\sqrt{x^2 + 81}} - \frac{1}{10}$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$\frac{x}{8\sqrt{x^2 + 81}} - \frac{1}{10} = 0$
$\frac{x}{8\sqrt{x^2 + 81}} = \frac{1}{10}$
$10x = 8\sqrt{x^2 + 81}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что $x$ должно быть неотрицательным:
$100x^2 = 64(x^2 + 81)$
$100x^2 = 64x^2 + 64 \cdot 81$
$36x^2 = 64 \cdot 81$
$x^2 = \frac{64 \cdot 81}{36} = \frac{5184}{36} = 144$
$x = \sqrt{144} = 12$.

Полученное значение $x = 12$ км находится в пределах рассматриваемого отрезка $[0, 15]$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, проверим знак производной $T'(x)$ слева и справа от $x = 12$.
- При $x < 12$ (например, $x = 0$), $T'(0) = 0 - \frac{1}{10} < 0$, функция убывает.
- При $x > 12$ (например, $x = 15$), $T'(15) = \frac{15}{8\sqrt{15^2+81}} - \frac{1}{10} = \frac{15}{8\sqrt{306}} - \frac{1}{10} > 0$, так как $150^2 > (8\sqrt{306})^2$. Функция возрастает.
Поскольку производная меняет знак с минуса на плюс, $x=12$ является точкой минимума.

Таким образом, чтобы достичь пункта назначения в кратчайшее время, курьеру следует ехать по полю до точки на шоссе, находящейся на расстоянии 12 км от ближайшей к вышке точки $A$ в направлении пункта $C$.

Ответ: Курьеру надо ехать к точке на шоссе, которая находится на расстоянии 12 км от ближайшей к буровой вышке точки, двигаясь в сторону пункта назначения.