Номер 315, страница 159 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 315, страница 159.

Условие.

315.— Число 16 представьте в виде произведения двух положительных чисел, сумма квадратов которых будет наименьшей.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть искомые положительные числа будут $x$ и $y$. По условию задачи, их произведение равно 16.

$x \cdot y = 16$

Нам нужно найти такие $x > 0$ и $y > 0$, чтобы сумма их квадратов была наименьшей. Обозначим эту сумму через $S$.

$S = x^2 + y^2$

Выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Например, выразим $y$ через $x$:

$y = \frac{16}{x}$

Теперь подставим это выражение в формулу для суммы квадратов, чтобы получить функцию одной переменной $x$:

$S(x) = x^2 + (\frac{16}{x})^2 = x^2 + \frac{256}{x^2}$

Чтобы найти наименьшее значение функции $S(x)$, найдем ее производную по $x$ и приравняем к нулю.

$S'(x) = (x^2 + \frac{256}{x^2})' = (x^2 + 256x^{-2})' = 2x + 256(-2)x^{-3} = 2x - \frac{512}{x^3}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$2x - \frac{512}{x^3} = 0$

$2x = \frac{512}{x^3}$

$2x^4 = 512$

$x^4 = 256$

Так как по условию $x$ — положительное число, мы ищем только положительный корень:

$x = \sqrt[4]{256} = 4$

Чтобы убедиться, что в точке $x=4$ функция $S(x)$ достигает минимума, найдем вторую производную:

$S''(x) = (2x - 512x^{-3})' = 2 - 512(-3)x^{-4} = 2 + \frac{1536}{x^4}$

Проверим знак второй производной в точке $x=4$:

$S''(4) = 2 + \frac{1536}{4^4} = 2 + \frac{1536}{256} = 2 + 6 = 8$

Поскольку $S''(4) = 8 > 0$, в точке $x=4$ функция имеет минимум.

Теперь найдем второе число $y$:

$y = \frac{16}{x} = \frac{16}{4} = 4$

Таким образом, искомые числа — это 4 и 4. Их произведение равно $4 \cdot 4 = 16$, а сумма их квадратов $4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$ является наименьшей.

Ответ: Число 16 нужно представить в виде произведения $4 \cdot 4$.