Номер 315, страница 159 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 6. Применения производной к исследованию функции. Глава 2. Производная и её применения - номер 315, страница 159.
№315 (с. 159)
Условие. №315 (с. 159)
скриншот условия

315.— Число 16 представьте в виде произведения двух положительных чисел, сумма квадратов которых будет наименьшей.
Решение 1. №315 (с. 159)

Решение 4. №315 (с. 159)

Решение 5. №315 (с. 159)
Пусть искомые положительные числа будут $x$ и $y$. По условию задачи, их произведение равно 16.
$x \cdot y = 16$
Нам нужно найти такие $x > 0$ и $y > 0$, чтобы сумма их квадратов была наименьшей. Обозначим эту сумму через $S$.
$S = x^2 + y^2$
Выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Например, выразим $y$ через $x$:
$y = \frac{16}{x}$
Теперь подставим это выражение в формулу для суммы квадратов, чтобы получить функцию одной переменной $x$:
$S(x) = x^2 + (\frac{16}{x})^2 = x^2 + \frac{256}{x^2}$
Чтобы найти наименьшее значение функции $S(x)$, найдем ее производную по $x$ и приравняем к нулю.
$S'(x) = (x^2 + \frac{256}{x^2})' = (x^2 + 256x^{-2})' = 2x + 256(-2)x^{-3} = 2x - \frac{512}{x^3}$
Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$2x - \frac{512}{x^3} = 0$
$2x = \frac{512}{x^3}$
$2x^4 = 512$
$x^4 = 256$
Так как по условию $x$ — положительное число, мы ищем только положительный корень:
$x = \sqrt[4]{256} = 4$
Чтобы убедиться, что в точке $x=4$ функция $S(x)$ достигает минимума, найдем вторую производную:
$S''(x) = (2x - 512x^{-3})' = 2 - 512(-3)x^{-4} = 2 + \frac{1536}{x^4}$
Проверим знак второй производной в точке $x=4$:
$S''(4) = 2 + \frac{1536}{4^4} = 2 + \frac{1536}{256} = 2 + 6 = 8$
Поскольку $S''(4) = 8 > 0$, в точке $x=4$ функция имеет минимум.
Теперь найдем второе число $y$:
$y = \frac{16}{x} = \frac{16}{4} = 4$
Таким образом, искомые числа — это 4 и 4. Их произведение равно $4 \cdot 4 = 16$, а сумма их квадратов $4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$ является наименьшей.
Ответ: Число 16 нужно представить в виде произведения $4 \cdot 4$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 315 расположенного на странице 159 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №315 (с. 159), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.