Номер 318, страница 159 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 318, страница 159.

Условие.

318.— В равнобедренный треугольник с основанием 60 см и боковой стороной 50 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите стороны прямоугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Обозначим данный равнобедренный треугольник как $ABC$, где $AC$ — основание, а $AB$ и $BC$ — боковые стороны. Согласно условию задачи, $AC = 60$ см и $AB = BC = 50$ см.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $H$ является серединой основания $AC$, и $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Применим теорему Пифагора для нахождения длины высоты $BH$:
$BH^2 + HC^2 = BC^2$
$BH^2 + 30^2 = 50^2$
$BH^2 + 900 = 2500$
$BH^2 = 1600$
$BH = \sqrt{1600} = 40$ см.

Пусть в треугольник $ABC$ вписан прямоугольник $KLMN$, имеющий наибольшую площадь. Вершины $K$ и $L$ лежат на основании $AC$, а вершины $M$ и $N$ — на боковых сторонах $BC$ и $AB$ соответственно.

Обозначим стороны прямоугольника: пусть его длина (сторона, параллельная основанию) $KL = x$, а его высота (сторона, перпендикулярная основанию) $ML = NK = y$. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = x \cdot y$. Наша задача — найти значения $x$ и $y$, при которых площадь $S$ будет максимальной.

Рассмотрим малый треугольник $NBM$, расположенный над прямоугольником. Этот треугольник подобен большому треугольнику $ABC$, так как их углы равны (угол при вершине $B$ является общим, а сторона $NM$ параллельна $AC$, поэтому углы при основаниях этих треугольников попарно равны как соответственные).

Высота $BH$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $NM$ прямоугольника. Обозначим точку пересечения как $P$. Тогда отрезок $BP$ является высотой треугольника $NBM$. Длина этой высоты равна $BP = BH - PH$. Поскольку $PH$ — это высота прямоугольника, $PH = y$. Таким образом, $BP = 40 - y$.

Из подобия треугольников $NBM$ и $ABC$ следует отношение их высот и оснований: $\frac{NM}{AC} = \frac{BP}{BH}$

Подставим в это соотношение известные нам значения: $NM = x$, $AC = 60$, $BP = 40 - y$, $BH = 40$. $\frac{x}{60} = \frac{40 - y}{40}$

Из этого уравнения выразим $x$ через $y$: $x = 60 \cdot \frac{40 - y}{40} = \frac{3}{2}(40 - y) = 60 - \frac{3}{2}y$.

Теперь можно записать площадь прямоугольника как функцию одной переменной $y$: $S(y) = x \cdot y = (60 - \frac{3}{2}y) \cdot y = 60y - \frac{3}{2}y^2$.

Полученная функция $S(y)$ является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $y^2$ отрицателен ($a = -3/2$). Максимальное значение такая функция принимает в своей вершине. Найдем координату вершины $y_0$ по формуле $y_0 = -\frac{b}{2a}$: $y_0 = -\frac{60}{2 \cdot (-\frac{3}{2})} = -\frac{60}{-3} = 20$ см.

Это значение $y$ соответствует высоте прямоугольника с наибольшей площадью. Теперь найдем его длину $x$: $x = 60 - \frac{3}{2}y = 60 - \frac{3}{2} \cdot 20 = 60 - 30 = 30$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника наибольшей площади равны 30 см и 20 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 30 см и 20 см.