Номер 322, страница 159 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 322, страница 159.

Условие.

322. Найдите число, сумма которого со своим квадратом принимает наименьшее значение.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть искомое число — это $x$. Тогда сумма этого числа с его квадратом выражается функцией $S(x) = x + x^2$. Наша задача — найти значение $x$, при котором эта функция принимает наименьшее значение.

Функция $S(x) = x^2 + x$ является квадратичной. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при старшем члене $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума, которая совпадает с вершиной параболы.

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, находится по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

В нашем случае, для функции $S(x) = x^2 + x$, мы имеем коэффициенты $a = 1$ и $b = 1$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения абсциссы вершины: $x = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$

Таким образом, число, сумма которого со своим квадратом принимает наименьшее значение, равно $-\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$