Номер 4, страница 171 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Вопросы и задачи на повторение - номер 4, страница 171.

Условие.

4. 1) Какую функцию называют непрерывной на промежутке?

2) Найдите промежутки непрерывности функции:

а) $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2 - 5}{4 - x^2}$;

б) $f(x) = 1 - 2 \text{ tg } x$;

в) $f(x) = \frac{x - 4}{x^2 - 3x - 10}$;

г) $f(x) = x^4 - 3x^2 + 7$.

3) Решите неравенство методом интервалов:

а) $\frac{4}{x + 4} + \frac{1}{x + 1} > 1$;

б) $x^4 - 15x^2 - 16 \le 0$;

в) $\frac{x^2 - 3x - 4}{x - 4} \le 0$;

г) $(x - 1)(x - 2)(x + 4) \ge 0$.

Решение 5.

1) Функцию $f(x)$ называют непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Функция является непрерывной в точке $x_0$, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Это означает, что:
1. Функция определена в точке $x_0$.
2. Существует конечный предел функции при $x \to x_0$.
3. Этот предел равен значению функции в точке $x_0$.
Проще говоря, график непрерывной на промежутке функции можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги.

2) Промежутки непрерывности функции совпадают с ее областью определения, за исключением, возможно, отдельных точек. Для элементарных функций промежутки непрерывности — это все интервалы, на которых функция определена.

а) $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2 - 5}{4 - x^2}$
Это рациональная функция, она непрерывна везде, кроме точек, где ее знаменатель равен нулю.
Найдем эти точки: $4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ и $x = -2$.
Таким образом, функция имеет разрывы в точках $x = -2$ и $x = 2$.
Промежутки непрерывности — это вся числовая ось, за исключением этих точек.
Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

б) $f(x) = 1 - 2 \tg x$
Функция тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ не определена (и, следовательно, имеет разрывы) в точках, где $\cos x = 0$.
Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Функция непрерывна на всех интервалах между этими точками.
Ответ: $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $f(x) = \frac{x - 4}{x^2 - 3x - 10}$
Это рациональная функция. Найдем точки, в которых знаменатель равен нулю.
$x^2 - 3x - 10 = 0$
Используем теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$.
Точки разрыва: $x = -2$ и $x = 5$.
Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-2; 5) \cup (5; +\infty)$.

г) $f(x) = x^4 - 3x^2 + 7$
Это полином (многочлен). Полиномиальные функции непрерывны на всей числовой оси.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

3)

а) $\frac{4}{x+4} + \frac{1}{x+1} > 1$
Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{4(x+1) + 1(x+4) - 1(x+4)(x+1)}{(x+4)(x+1)} > 0$
$\frac{4x+4+x+4 - (x^2+5x+4)}{(x+4)(x+1)} > 0$
$\frac{5x+8 - x^2 - 5x - 4}{(x+4)(x+1)} > 0$
$\frac{-x^2+4}{(x+4)(x+1)} > 0$
Умножим на -1 и сменим знак неравенства:
$\frac{x^2-4}{(x+4)(x+1)} < 0$
$\frac{(x-2)(x+2)}{(x+4)(x+1)} < 0$
Найдем нули числителя ($x=2, x=-2$) и нули знаменателя ($x=-4, x=-1$). Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в каждом интервале.
Интервалы: $(-\infty; -4)$, $(-4; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; 2)$, $(2; +\infty)$.
Знаки: +, -, +, -, +.
Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля.
Ответ: $(-4; -2) \cup (-1; 2)$.

б) $x^4 - 15x^2 - 16 \le 0$
Это биквадратное неравенство. Сделаем замену $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $t \ge 0$.
Получаем квадратное неравенство: $t^2 - 15t - 16 \le 0$.
Найдем корни уравнения $t^2 - 15t - 16 = 0$.
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 = 17^2$.
$t_1 = \frac{15 - 17}{2} = -1$, $t_2 = \frac{15 + 17}{2} = 16$.
Неравенство $t^2 - 15t - 16 \le 0$ выполняется при $t \in [-1; 16]$.
Возвращаемся к замене, учитывая условие $t \ge 0$:
$0 \le x^2 \le 16$.
Неравенство $x^2 \le 16$ равносильно системе $\begin{cases} x \le 4 \\ x \ge -4 \end{cases}$, то есть $x \in [-4; 4]$.
Ответ: $[-4; 4]$.

в) $\frac{x^2 - 3x - 4}{x - 4} \le 0$
Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$ это $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x-4)(x+1)}{x-4} \le 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$.
На ОДЗ можно сократить дробь: $x+1 \le 0 \Rightarrow x \le -1$.
Полученное решение $x \le -1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 4$).
Ответ: $(-\infty; -1]$.

г) $(x - 1)(x - 2)(x + 4) \ge 0$
Найдем корни выражения: $x=1, x=2, x=-4$.
Нанесем эти точки на числовую прямую. Так как неравенство нестрогое, точки включаются в решение.
Определим знаки выражения в полученных интервалах:
При $x > 2$: $(+)(+)(+) = +$.
При $1 < x < 2$: $(+)(-)(+) = -$.
При $-4 < x < 1$: $(-)(-)(+) = +$.
При $x < -4$: $(-)(-)(-) = -$.
Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $[-4; 1] \cup [2; +\infty)$.