Номер 4, страница 171 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Вопросы и задачи на повторение. Глава 2. Производная и её применения - номер 4, страница 171.

№4 (с. 171)
Условие. №4 (с. 171)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 171, номер 4, Условие

4. 1) Какую функцию называют непрерывной на промежутке?

2) Найдите промежутки непрерывности функции:

а) $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2 - 5}{4 - x^2}$;

б) $f(x) = 1 - 2 \text{ tg } x$;

в) $f(x) = \frac{x - 4}{x^2 - 3x - 10}$;

г) $f(x) = x^4 - 3x^2 + 7$.

3) Решите неравенство методом интервалов:

а) $\frac{4}{x + 4} + \frac{1}{x + 1} > 1$;

б) $x^4 - 15x^2 - 16 \le 0$;

в) $\frac{x^2 - 3x - 4}{x - 4} \le 0$;

г) $(x - 1)(x - 2)(x + 4) \ge 0$.

Решение 5. №4 (с. 171)

1) Функцию $f(x)$ называют непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Функция является непрерывной в точке $x_0$, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Это означает, что:
1. Функция определена в точке $x_0$.
2. Существует конечный предел функции при $x \to x_0$.
3. Этот предел равен значению функции в точке $x_0$.
Проще говоря, график непрерывной на промежутке функции можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги.

2) Промежутки непрерывности функции совпадают с ее областью определения, за исключением, возможно, отдельных точек. Для элементарных функций промежутки непрерывности — это все интервалы, на которых функция определена.

а) $f(x) = \frac{x^3 - 2x^2 - 5}{4 - x^2}$
Это рациональная функция, она непрерывна везде, кроме точек, где ее знаменатель равен нулю.
Найдем эти точки: $4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ и $x = -2$.
Таким образом, функция имеет разрывы в точках $x = -2$ и $x = 2$.
Промежутки непрерывности — это вся числовая ось, за исключением этих точек.
Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

б) $f(x) = 1 - 2 \tg x$
Функция тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$ не определена (и, следовательно, имеет разрывы) в точках, где $\cos x = 0$.
Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Функция непрерывна на всех интервалах между этими точками.
Ответ: $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $f(x) = \frac{x - 4}{x^2 - 3x - 10}$
Это рациональная функция. Найдем точки, в которых знаменатель равен нулю.
$x^2 - 3x - 10 = 0$
Используем теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
Корни: $x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$.
Точки разрыва: $x = -2$ и $x = 5$.
Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-2; 5) \cup (5; +\infty)$.

г) $f(x) = x^4 - 3x^2 + 7$
Это полином (многочлен). Полиномиальные функции непрерывны на всей числовой оси.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

3)

а) $\frac{4}{x+4} + \frac{1}{x+1} > 1$
Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{4(x+1) + 1(x+4) - 1(x+4)(x+1)}{(x+4)(x+1)} > 0$
$\frac{4x+4+x+4 - (x^2+5x+4)}{(x+4)(x+1)} > 0$
$\frac{5x+8 - x^2 - 5x - 4}{(x+4)(x+1)} > 0$
$\frac{-x^2+4}{(x+4)(x+1)} > 0$
Умножим на -1 и сменим знак неравенства:
$\frac{x^2-4}{(x+4)(x+1)} < 0$
$\frac{(x-2)(x+2)}{(x+4)(x+1)} < 0$
Найдем нули числителя ($x=2, x=-2$) и нули знаменателя ($x=-4, x=-1$). Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в каждом интервале.
Интервалы: $(-\infty; -4)$, $(-4; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; 2)$, $(2; +\infty)$.
Знаки: +, -, +, -, +.
Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля.
Ответ: $(-4; -2) \cup (-1; 2)$.

б) $x^4 - 15x^2 - 16 \le 0$
Это биквадратное неравенство. Сделаем замену $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $t \ge 0$.
Получаем квадратное неравенство: $t^2 - 15t - 16 \le 0$.
Найдем корни уравнения $t^2 - 15t - 16 = 0$.
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 = 17^2$.
$t_1 = \frac{15 - 17}{2} = -1$, $t_2 = \frac{15 + 17}{2} = 16$.
Неравенство $t^2 - 15t - 16 \le 0$ выполняется при $t \in [-1; 16]$.
Возвращаемся к замене, учитывая условие $t \ge 0$:
$0 \le x^2 \le 16$.
Неравенство $x^2 \le 16$ равносильно системе $\begin{cases} x \le 4 \\ x \ge -4 \end{cases}$, то есть $x \in [-4; 4]$.
Ответ: $[-4; 4]$.

в) $\frac{x^2 - 3x - 4}{x - 4} \le 0$
Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$ это $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x-4)(x+1)}{x-4} \le 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$.
На ОДЗ можно сократить дробь: $x+1 \le 0 \Rightarrow x \le -1$.
Полученное решение $x \le -1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 4$).
Ответ: $(-\infty; -1]$.

г) $(x - 1)(x - 2)(x + 4) \ge 0$
Найдем корни выражения: $x=1, x=2, x=-4$.
Нанесем эти точки на числовую прямую. Так как неравенство нестрогое, точки включаются в решение.
Определим знаки выражения в полученных интервалах:
При $x > 2$: $(+)(+)(+) = +$.
При $1 < x < 2$: $(+)(-)(+) = -$.
При $-4 < x < 1$: $(-)(-)(+) = +$.
При $x < -4$: $(-)(-)(-) = -$.
Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $[-4; 1] \cup [2; +\infty)$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 171 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 171), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.