Номер 9, страница 172 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Вопросы и задачи на повторение. Глава 2. Производная и её применения - номер 9, страница 172.

№9 (с. 172)
Условие. №9 (с. 172)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 172, номер 9, Условие

9. 1) Какую точку называют критической точкой функции?

2) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.

3) Исследуйте на максимум и минимум функцию:

а) $y = \frac{x}{2} - x^4$;

б) $y = 2 \sin x + \cos 2x$;

в) $y = x^3 - 3x$;

г) $y = x - \operatorname{tg} x$.

Решение 5. №9 (с. 172)

1) Какую точку называют критической точкой функции?

Критическими точками функции называют внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует.

2) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.

Это достаточное условие экстремума, также известное как правило первой производной. Пусть функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$ и дифференцируема в некоторой её окрестности (кроме, возможно, самой точки $x_0$).
• Если при переходе через критическую точку $x_0$ производная $f'(x)$ меняет знак с «+» на «−», то $x_0$ является точкой максимума.
• Если при переходе через критическую точку $x_0$ производная $f'(x)$ меняет знак с «−» на «+», то $x_0$ является точкой минимума.
• Если при переходе через критическую точку $x_0$ производная $f'(x)$ не меняет свой знак, то в точке $x_0$ экстремума нет.

3) Исследуйте на максимум и минимум функцию:

а) $y = \frac{x}{2} - x^4$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдём производную функции: $y' = (\frac{x}{2} - x^4)' = \frac{1}{2} - 4x^3$.
3. Найдём критические точки. Производная существует на всей области определения. Приравняем производную к нулю: $\frac{1}{2} - 4x^3 = 0 \implies 4x^3 = \frac{1}{2} \implies x^3 = \frac{1}{8} \implies x = \frac{1}{2}$.
4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается критической точкой $x = \frac{1}{2}$.
При $x < \frac{1}{2}$ (например, $x=0$), $y'(0) = \frac{1}{2} > 0$, функция возрастает.
При $x > \frac{1}{2}$ (например, $x=1$), $y'(1) = \frac{1}{2} - 4 = -3.5 < 0$, функция убывает.
5. Поскольку при переходе через точку $x = \frac{1}{2}$ производная меняет знак с «+» на «−», эта точка является точкой максимума.
6. Найдём значение функции в точке максимума: $y_{max} = y(\frac{1}{2}) = \frac{1/2}{2} - (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{4-1}{16} = \frac{3}{16}$.

Ответ: точка максимума $x_{max} = \frac{1}{2}$, максимум функции $y_{max} = \frac{3}{16}$. Точек минимума нет.

б) $y = 2 \sin x + \cos 2x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция является периодической с периодом $2\pi$, поэтому исследование проведём на отрезке $[0, 2\pi]$.
2. Найдём производную: $y' = (2 \sin x + \cos 2x)' = 2 \cos x - 2 \sin 2x = 2 \cos x - 4 \sin x \cos x = 2 \cos x(1 - 2 \sin x)$.
3. Найдём критические точки из уравнения $y'=0$: $2 \cos x(1 - 2 \sin x) = 0$.
Это уравнение распадается на два:
$\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. На отрезке $[0, 2\pi]$ это точки $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$.
$1 - 2 \sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. На отрезке $[0, 2\pi]$ это точки $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.
Критические точки на отрезке $[0, 2\pi]$: $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$.
4. Исследуем знак производной на интервалах $(0, \frac{\pi}{6})$, $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$, $(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6})$, $(\frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2})$, $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.
- $y' > 0$ на $(0, \frac{\pi}{6})$. Знак меняется на «−» в $x=\frac{\pi}{6}$ $\implies$ максимум.
- $y' < 0$ на $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$. Знак меняется на «+» в $x=\frac{\pi}{2}$ $\implies$ минимум.
- $y' > 0$ на $(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6})$. Знак меняется на «−» в $x=\frac{5\pi}{6}$ $\implies$ максимум.
- $y' < 0$ на $(\frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2})$. Знак меняется на «+» в $x=\frac{3\pi}{2}$ $\implies$ минимум.
- $y' > 0$ на $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.
5. Найдём значения функции в точках экстремума:
$y(\frac{\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = 2\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.5$.
$y(\frac{5\pi}{6}) = 2\sin(\frac{5\pi}{6}) + \cos(\frac{5\pi}{3}) = 2\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.5$.
$y(\frac{\pi}{2}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\pi) = 2\cdot 1 - 1 = 1$.
$y(\frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) + \cos(3\pi) = 2\cdot(-1) - 1 = -3$.

Ответ: точки максимума $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $y_{max} = 1.5$; точки минимума $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $y_{min} = 1$ и $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, $y_{min} = -3$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = x^3 - 3x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдём производную: $y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1)$.
3. Найдём критические точки. Производная существует везде. Решим уравнение $y'=0$: $3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1$.
4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$.
При $x < -1$ (например, $x=-2$), $y'(-2) = 3((-2)^2-1)=9 > 0$, функция возрастает.
При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$), $y'(0) = 3(0^2-1)=-3 < 0$, функция убывает.
При $x > 1$ (например, $x=2$), $y'(2) = 3(2^2-1)=9 > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x=-1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума. В точке $x=1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
6. Найдём значения экстремумов:
$y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.
$y_{min} = y(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$.

Ответ: точка максимума $x_{max} = -1$, максимум $y_{max} = 2$; точка минимума $x_{min} = 1$, минимум $y_{min} = -2$.

г) $y = x - \tg x$

1. Область определения функции: $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \}$, так как тангенс не определён в этих точках.
2. Найдём производную: $y' = (x - \tg x)' = 1 - \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x - 1}{\cos^2 x} = -\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = -\tg^2 x$.
3. Найдём критические точки. Производная не существует в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, но они не входят в область определения. Приравняем производную к нулю: $-\tg^2 x = 0 \implies \tg x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
4. Исследуем знак производной. Выражение $y' = -\tg^2 x$ не может быть положительным. Оно равно нулю в критических точках $x = \pi k$ и отрицательно во всех остальных точках области определения.
5. Так как производная не меняет знак при переходе через критические точки (остаётся отрицательной слева и справа), то экстремумов у функции нет.

Ответ: точек максимума и минимума нет.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 9 расположенного на странице 172 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №9 (с. 172), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.