Номер 9, страница 172 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Вопросы и задачи на повторение - номер 9, страница 172.

Условие.

9. 1) Какую точку называют критической точкой функции?

2) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.

3) Исследуйте на максимум и минимум функцию:

а) $y = \frac{x}{2} - x^4$;

б) $y = 2 \sin x + \cos 2x$;

в) $y = x^3 - 3x$;

г) $y = x - \operatorname{tg} x$.

Решение 5.

1) Какую точку называют критической точкой функции?

Критическими точками функции называют внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует.

2) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.

Это достаточное условие экстремума, также известное как правило первой производной. Пусть функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$ и дифференцируема в некоторой её окрестности (кроме, возможно, самой точки $x_0$).
• Если при переходе через критическую точку $x_0$ производная $f'(x)$ меняет знак с «+» на «−», то $x_0$ является точкой максимума.
• Если при переходе через критическую точку $x_0$ производная $f'(x)$ меняет знак с «−» на «+», то $x_0$ является точкой минимума.
• Если при переходе через критическую точку $x_0$ производная $f'(x)$ не меняет свой знак, то в точке $x_0$ экстремума нет.

3) Исследуйте на максимум и минимум функцию:

а) $y = \frac{x}{2} - x^4$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдём производную функции: $y' = (\frac{x}{2} - x^4)' = \frac{1}{2} - 4x^3$.
3. Найдём критические точки. Производная существует на всей области определения. Приравняем производную к нулю: $\frac{1}{2} - 4x^3 = 0 \implies 4x^3 = \frac{1}{2} \implies x^3 = \frac{1}{8} \implies x = \frac{1}{2}$.
4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается критической точкой $x = \frac{1}{2}$.
При $x < \frac{1}{2}$ (например, $x=0$), $y'(0) = \frac{1}{2} > 0$, функция возрастает.
При $x > \frac{1}{2}$ (например, $x=1$), $y'(1) = \frac{1}{2} - 4 = -3.5 < 0$, функция убывает.
5. Поскольку при переходе через точку $x = \frac{1}{2}$ производная меняет знак с «+» на «−», эта точка является точкой максимума.
6. Найдём значение функции в точке максимума: $y_{max} = y(\frac{1}{2}) = \frac{1/2}{2} - (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{4-1}{16} = \frac{3}{16}$.

Ответ: точка максимума $x_{max} = \frac{1}{2}$, максимум функции $y_{max} = \frac{3}{16}$. Точек минимума нет.

б) $y = 2 \sin x + \cos 2x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция является периодической с периодом $2\pi$, поэтому исследование проведём на отрезке $[0, 2\pi]$.
2. Найдём производную: $y' = (2 \sin x + \cos 2x)' = 2 \cos x - 2 \sin 2x = 2 \cos x - 4 \sin x \cos x = 2 \cos x(1 - 2 \sin x)$.
3. Найдём критические точки из уравнения $y'=0$: $2 \cos x(1 - 2 \sin x) = 0$.
Это уравнение распадается на два:
$\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. На отрезке $[0, 2\pi]$ это точки $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$.
$1 - 2 \sin x = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. На отрезке $[0, 2\pi]$ это точки $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.
Критические точки на отрезке $[0, 2\pi]$: $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$.
4. Исследуем знак производной на интервалах $(0, \frac{\pi}{6})$, $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$, $(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6})$, $(\frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2})$, $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.
- $y' > 0$ на $(0, \frac{\pi}{6})$. Знак меняется на «−» в $x=\frac{\pi}{6}$ $\implies$ максимум.
- $y' < 0$ на $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$. Знак меняется на «+» в $x=\frac{\pi}{2}$ $\implies$ минимум.
- $y' > 0$ на $(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6})$. Знак меняется на «−» в $x=\frac{5\pi}{6}$ $\implies$ максимум.
- $y' < 0$ на $(\frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2})$. Знак меняется на «+» в $x=\frac{3\pi}{2}$ $\implies$ минимум.
- $y' > 0$ на $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.
5. Найдём значения функции в точках экстремума:
$y(\frac{\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{6}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = 2\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.5$.
$y(\frac{5\pi}{6}) = 2\sin(\frac{5\pi}{6}) + \cos(\frac{5\pi}{3}) = 2\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.5$.
$y(\frac{\pi}{2}) = 2\sin(\frac{\pi}{2}) + \cos(\pi) = 2\cdot 1 - 1 = 1$.
$y(\frac{3\pi}{2}) = 2\sin(\frac{3\pi}{2}) + \cos(3\pi) = 2\cdot(-1) - 1 = -3$.

Ответ: точки максимума $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $y_{max} = 1.5$; точки минимума $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $y_{min} = 1$ и $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, $y_{min} = -3$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = x^3 - 3x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдём производную: $y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1)$.
3. Найдём критические точки. Производная существует везде. Решим уравнение $y'=0$: $3(x^2 - 1) = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1$.
4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$.
При $x < -1$ (например, $x=-2$), $y'(-2) = 3((-2)^2-1)=9 > 0$, функция возрастает.
При $-1 < x < 1$ (например, $x=0$), $y'(0) = 3(0^2-1)=-3 < 0$, функция убывает.
При $x > 1$ (например, $x=2$), $y'(2) = 3(2^2-1)=9 > 0$, функция возрастает.
5. В точке $x=-1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка максимума. В точке $x=1$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.
6. Найдём значения экстремумов:
$y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.
$y_{min} = y(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$.

Ответ: точка максимума $x_{max} = -1$, максимум $y_{max} = 2$; точка минимума $x_{min} = 1$, минимум $y_{min} = -2$.

г) $y = x - \tg x$

1. Область определения функции: $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \}$, так как тангенс не определён в этих точках.
2. Найдём производную: $y' = (x - \tg x)' = 1 - \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x - 1}{\cos^2 x} = -\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = -\tg^2 x$.
3. Найдём критические точки. Производная не существует в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, но они не входят в область определения. Приравняем производную к нулю: $-\tg^2 x = 0 \implies \tg x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
4. Исследуем знак производной. Выражение $y' = -\tg^2 x$ не может быть положительным. Оно равно нулю в критических точках $x = \pi k$ и отрицательно во всех остальных точках области определения.
5. Так как производная не меняет знак при переходе через критические точки (остаётся отрицательной слева и справа), то экстремумов у функции нет.

Ответ: точек максимума и минимума нет.