Номер 3, страница 170 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вопросы и задачи на повторение. Глава 2. Производная и её применения - номер 3, страница 170.

Условие.

3. 1) Сформулируйте правила вычисления производных. Чему равна производная функции $f(x) = x^n$ ($n$ — целое число)?

Рис. 117

2) Дифференцируемая функция $f$ задана графиком (рис. 117). Постройте касательные к графику $f$ в указанных точках и найдите приближенные значения производной в точках $a, b, c, d$.

3) Продифференцируйте функцию:

а) $f(x) = (x + 2) \sin x$;

б) $f(x) = \frac{4}{(9+7x)^5}$;

в) $f(x) = x^3 - \frac{2}{x} + \cos 3x$;

г) $f(x) = \frac{x^2}{x+3}$.

Решение 5.

1) Сформулируем основные правила вычисления производных (дифференцирования).

Пусть $u(x)$ и $v(x)$ — дифференцируемые функции, а $C$ — постоянная величина (константа).

Правило 1: Производная константы.

Производная постоянной величины равна нулю.

$ C' = 0 $

Правило 2: Правило постоянного множителя.

Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

$ (C \cdot u)' = C \cdot u' $

Правило 3: Правило суммы и разности.

Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) их производных.

$ (u \pm v)' = u' \pm v' $

Правило 4: Правило произведения.

Производная произведения двух функций вычисляется по формуле:

$ (u \cdot v)' = u'v + uv' $

Правило 5: Правило частного.

Производная частного двух функций вычисляется по формуле:

$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $

Правило 6: Производная сложной функции (цепное правило).

Если $y = f(g(x))$, то ее производная равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на производную внутренней функции по основной переменной.

$ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $

Производная функции $ f(x) = x^n $ (n — целое число).

Производная степенной функции вычисляется по формуле (степенное правило):

$ (x^n)' = n \cdot x^{n-1} $

Эта формула справедлива для любого целого числа $n$.

Ответ: Основные правила дифференцирования включают правило производной константы, постоянного множителя, суммы/разности, произведения, частного и правило для сложной функции. Производная функции $ f(x) = x^n $, где $n$ — целое число, равна $ f'(x) = nx^{n-1} $.

2) Геометрический смысл производной функции в точке заключается в том, что ее значение равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции в этой точке. Для нахождения приближенного значения производной построим касательную в указанной точке и найдем ее угловой коэффициент $k$ по формуле $ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $, выбрав две удобные точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ на касательной.

На рисунке 117 представлены два графика. Проведем анализ для каждого из них.

Для левого графика:

В точке a (где $ x = -3 $): Проведем касательную. Она проходит примерно через точки $(-4, 0)$ и $(-2, 4)$. Тогда угловой коэффициент $k_a \approx \frac{4 - 0}{-2 - (-4)} = \frac{4}{2} = 2$. Таким образом, $ f'(a) \approx 2 $.

В точке b (где $ x \approx -1.5 $): Это точка локального максимума. Касательная к графику в этой точке горизонтальна, ее угловой коэффициент равен нулю. Таким образом, $ f'(b) = 0 $.

В точке c (где $ x = 1 $): Это точка локального минимума. Касательная к графику в этой точке также горизонтальна. Таким образом, $ f'(c) = 0 $.

В точке d (где $ x = 2 $): Проведем касательную. Она проходит примерно через точки $(1, 1)$ и $(3, 5)$. Тогда угловой коэффициент $k_d \approx \frac{5 - 1}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$. Таким образом, $ f'(d) \approx 2 $.

Для правого графика:

В точке a (где $ x = -3 $): Проведем касательную. Она проходит примерно через точки $(-4, 0.5)$ и $(-2, 2.5)$. Тогда угловой коэффициент $k_a \approx \frac{2.5 - 0.5}{-2 - (-4)} = \frac{2}{2} = 1$. Таким образом, $ f'(a) \approx 1 $.

В точке b (где $ x \approx -1.5 $): Проведем касательную. Она проходит примерно через точки $(-2.5, 2.5)$ и $(-0.5, 4)$. Тогда угловой коэффициент $k_b \approx \frac{4 - 2.5}{-0.5 - (-2.5)} = \frac{1.5}{2} = 0.75$. Таким образом, $ f'(b) \approx 0.75 $.

В точке c (где $ x \approx 1 $): Это точка максимума. Касательная к графику в этой точке горизонтальна. Таким образом, $ f'(c) = 0 $.

В точке d (где $ x = 3 $): Проведем касательную. Она проходит примерно через точки $(2, 4)$ и $(4, 1)$. Тогда угловой коэффициент $k_d \approx \frac{1 - 4}{4 - 2} = \frac{-3}{2} = -1.5$. Таким образом, $ f'(d) \approx -1.5 $.

Ответ: Для левого графика: $f'(a) \approx 2$, $f'(b) = 0$, $f'(c) = 0$, $f'(d) \approx 2$. Для правого графика: $f'(a) \approx 1$, $f'(b) \approx 0.75$, $f'(c) = 0$, $f'(d) \approx -1.5$.

3)

а) $ f(x) = (x + 2) \sin x $

Используем правило производной произведения $ (uv)' = u'v + uv' $, где $ u = x + 2 $ и $ v = \sin x $.

Находим производные $ u' = (x + 2)' = 1 $ и $ v' = (\sin x)' = \cos x $.

Подставляем в формулу: $ f'(x) = 1 \cdot \sin x + (x + 2) \cdot \cos x = \sin x + (x + 2)\cos x $.

Ответ: $ f'(x) = \sin x + (x + 2)\cos x $.

б) $ f(x) = \frac{4}{(9 + 7x)^5} $

Перепишем функцию в виде $ f(x) = 4(9 + 7x)^{-5} $. Используем правило для сложной функции и степенное правило.

$ f'(x) = 4 \cdot (-5)(9 + 7x)^{-5-1} \cdot (9 + 7x)' $.

Находим производную внутренней функции: $ (9 + 7x)' = 7 $.

Подставляем и упрощаем: $ f'(x) = -20(9 + 7x)^{-6} \cdot 7 = -140(9 + 7x)^{-6} = -\frac{140}{(9 + 7x)^6} $.

Ответ: $ f'(x) = -\frac{140}{(9 + 7x)^6} $.

в) $ f(x) = x^3 - \frac{2}{x} + \cos 3x $

Используем правило суммы/разности производных. Перепишем функцию: $ f(x) = x^3 - 2x^{-1} + \cos 3x $.

$ f'(x) = (x^3)' - (2x^{-1})' + (\cos 3x)' $.

$ (x^3)' = 3x^2 $.

$ (2x^{-1})' = 2 \cdot (-1)x^{-2} = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2} $.

$ (\cos 3x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin 3x $ (по правилу для сложной функции).

Собираем все вместе: $ f'(x) = 3x^2 - \left(-\frac{2}{x^2}\right) - 3\sin 3x = 3x^2 + \frac{2}{x^2} - 3\sin 3x $.

Ответ: $ f'(x) = 3x^2 + \frac{2}{x^2} - 3\sin 3x $.

г) $ f(x) = \frac{x^2}{x + 3} $

Используем правило производной частного $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $, где $ u = x^2 $ и $ v = x + 3 $.

Находим производные $ u' = (x^2)' = 2x $ и $ v' = (x + 3)' = 1 $.

Подставляем в формулу: $ f'(x) = \frac{2x \cdot (x + 3) - x^2 \cdot 1}{(x + 3)^2} $.

Упрощаем числитель: $ f'(x) = \frac{2x^2 + 6x - x^2}{(x + 3)^2} = \frac{x^2 + 6x}{(x + 3)^2} $.

Ответ: $ f'(x) = \frac{x^2 + 6x}{(x + 3)^2} $.