Номер 321, страница 159 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 321, страница 159.

Условие.

321.- Лодка находится на озере на расстоянии 3 км от ближайшей точки $A$ берега. Пассажир лодки желает достигнуть села $B$, находящегося на берегу на расстоянии 5 км от $A$ (участок $AB$ берега считаем прямолинейным). Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села в кратчайшее время?

Решение 1.

Решение 5.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть берег озера совпадает с осью $Ox$, а точка $A$ — с началом координат $(0, 0)$. Тогда село $B$ будет иметь координаты $(5, 0)$. Поскольку точка $A$ является ближайшей точкой берега к лодке, то перпендикуляр, опущенный из начального положения лодки (обозначим его $L$) на берег, попадет в точку $A$. Таким образом, начальное положение лодки $L$ имеет координаты $(0, 3)$.

Пассажир должен пристать к некоторой точке $P$ на берегу, чтобы затем пешком дойти до села $B$. Пусть точка $P$ имеет координаты $(x, 0)$, где $0 \le x \le 5$. Маршрут пассажира состоит из двух частей:

1. Путь на лодке от точки $L(0, 3)$ до точки $P(x, 0)$.
2. Путь пешком от точки $P(x, 0)$ до точки $B(5, 0)$.

Найдем длины этих участков пути.

Расстояние, которое пройдет лодка, $S_1$, равно длине отрезка $LP$. По теореме Пифагора:

$S_1 = LP = \sqrt{(x-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{x^2 + 9}$ км.

Скорость лодки $v_1 = 4$ км/ч. Время движения на лодке:

$t_1(x) = \frac{S_1}{v_1} = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{4}$ ч.

Расстояние, которое пассажир пройдет пешком, $S_2$, равно длине отрезка $PB$:

$S_2 = PB = 5 - x$ км.

Скорость пассажира пешком $v_2 = 5$ км/ч. Время движения пешком:

$t_2(x) = \frac{S_2}{v_2} = \frac{5 - x}{5}$ ч.

Общее время в пути $T(x)$ является суммой $t_1(x)$ и $t_2(x)$:

$T(x) = t_1(x) + t_2(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{4} + \frac{5 - x}{5}$

Чтобы найти кратчайшее время, необходимо найти минимум функции $T(x)$ на отрезке $[0, 5]$. Для этого найдем производную функции $T(x)$ по переменной $x$ и приравняем ее к нулю.

$T'(x) = \left(\frac{\sqrt{x^2 + 9}}{4} + \frac{5 - x}{5}\right)' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 9}} \cdot (x^2+9)' - \frac{1}{5} = \frac{2x}{8\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{1}{5} = \frac{x}{4\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{1}{5}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$T'(x) = 0 \implies \frac{x}{4\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{1}{5} = 0$

$\frac{x}{4\sqrt{x^2 + 9}} = \frac{1}{5}$

$5x = 4\sqrt{x^2 + 9}$

Возведем обе части уравнения в квадрат (поскольку $x \ge 0$, это преобразование является равносильным):

$(5x)^2 = (4\sqrt{x^2 + 9})^2$

$25x^2 = 16(x^2 + 9)$

$25x^2 = 16x^2 + 144$

$9x^2 = 144$

$x^2 = \frac{144}{9} = 16$

$x = 4$ (отрицательный корень не подходит, так как точка $P$ лежит на отрезке $AB$).

Точка $x=4$ принадлежит отрезку $[0, 5]$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, можно исследовать знак производной или найти значения функции на концах отрезка и в критической точке.

• $T(0) = \frac{\sqrt{0^2 + 9}}{4} + \frac{5 - 0}{5} = \frac{3}{4} + 1 = 1.75$ ч.
• $T(5) = \frac{\sqrt{5^2 + 9}}{4} + \frac{5 - 5}{5} = \frac{\sqrt{25 + 9}}{4} + 0 = \frac{\sqrt{34}}{4} \approx \frac{5.83}{4} \approx 1.458$ ч.
• $T(4) = \frac{\sqrt{4^2 + 9}}{4} + \frac{5 - 4}{5} = \frac{\sqrt{16 + 9}}{4} + \frac{1}{5} = \frac{\sqrt{25}}{4} + \frac{1}{5} = \frac{5}{4} + \frac{1}{5} = 1.25 + 0.2 = 1.45$ ч.

Сравнивая полученные значения, видим, что минимальное время достигается при $x=4$. Это означает, что лодка должна пристать к берегу в точке, находящейся на расстоянии 4 км от точки $A$ в направлении села $B$.

Ответ: Лодка должна пристать к берегу в точке, находящейся на расстоянии 4 км от точки A в сторону села B.