Номер 321, страница 159 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 6. Применения производной к исследованию функции. Глава 2. Производная и её применения - номер 321, страница 159.
№321 (с. 159)
Условие. №321 (с. 159)
скриншот условия

321.- Лодка находится на озере на расстоянии 3 км от ближайшей точки $A$ берега. Пассажир лодки желает достигнуть села $B$, находящегося на берегу на расстоянии 5 км от $A$ (участок $AB$ берега считаем прямолинейным). Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села в кратчайшее время?
Решение 1. №321 (с. 159)

Решение 5. №321 (с. 159)
Для решения задачи введем систему координат. Пусть берег озера совпадает с осью $Ox$, а точка $A$ — с началом координат $(0, 0)$. Тогда село $B$ будет иметь координаты $(5, 0)$. Поскольку точка $A$ является ближайшей точкой берега к лодке, то перпендикуляр, опущенный из начального положения лодки (обозначим его $L$) на берег, попадет в точку $A$. Таким образом, начальное положение лодки $L$ имеет координаты $(0, 3)$.
Пассажир должен пристать к некоторой точке $P$ на берегу, чтобы затем пешком дойти до села $B$. Пусть точка $P$ имеет координаты $(x, 0)$, где $0 \le x \le 5$. Маршрут пассажира состоит из двух частей:
- Путь на лодке от точки $L(0, 3)$ до точки $P(x, 0)$.
- Путь пешком от точки $P(x, 0)$ до точки $B(5, 0)$.
Найдем длины этих участков пути.
Расстояние, которое пройдет лодка, $S_1$, равно длине отрезка $LP$. По теореме Пифагора:
$S_1 = LP = \sqrt{(x-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{x^2 + 9}$ км.
Скорость лодки $v_1 = 4$ км/ч. Время движения на лодке:
$t_1(x) = \frac{S_1}{v_1} = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{4}$ ч.
Расстояние, которое пассажир пройдет пешком, $S_2$, равно длине отрезка $PB$:
$S_2 = PB = 5 - x$ км.
Скорость пассажира пешком $v_2 = 5$ км/ч. Время движения пешком:
$t_2(x) = \frac{S_2}{v_2} = \frac{5 - x}{5}$ ч.
Общее время в пути $T(x)$ является суммой $t_1(x)$ и $t_2(x)$:
$T(x) = t_1(x) + t_2(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{4} + \frac{5 - x}{5}$
Чтобы найти кратчайшее время, необходимо найти минимум функции $T(x)$ на отрезке $[0, 5]$. Для этого найдем производную функции $T(x)$ по переменной $x$ и приравняем ее к нулю.
$T'(x) = \left(\frac{\sqrt{x^2 + 9}}{4} + \frac{5 - x}{5}\right)' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 9}} \cdot (x^2+9)' - \frac{1}{5} = \frac{2x}{8\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{1}{5} = \frac{x}{4\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{1}{5}$
Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$T'(x) = 0 \implies \frac{x}{4\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{1}{5} = 0$
$\frac{x}{4\sqrt{x^2 + 9}} = \frac{1}{5}$
$5x = 4\sqrt{x^2 + 9}$
Возведем обе части уравнения в квадрат (поскольку $x \ge 0$, это преобразование является равносильным):
$(5x)^2 = (4\sqrt{x^2 + 9})^2$
$25x^2 = 16(x^2 + 9)$
$25x^2 = 16x^2 + 144$
$9x^2 = 144$
$x^2 = \frac{144}{9} = 16$
$x = 4$ (отрицательный корень не подходит, так как точка $P$ лежит на отрезке $AB$).
Точка $x=4$ принадлежит отрезку $[0, 5]$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, можно исследовать знак производной или найти значения функции на концах отрезка и в критической точке.
- $T(0) = \frac{\sqrt{0^2 + 9}}{4} + \frac{5 - 0}{5} = \frac{3}{4} + 1 = 1.75$ ч.
- $T(5) = \frac{\sqrt{5^2 + 9}}{4} + \frac{5 - 5}{5} = \frac{\sqrt{25 + 9}}{4} + 0 = \frac{\sqrt{34}}{4} \approx \frac{5.83}{4} \approx 1.458$ ч.
- $T(4) = \frac{\sqrt{4^2 + 9}}{4} + \frac{5 - 4}{5} = \frac{\sqrt{16 + 9}}{4} + \frac{1}{5} = \frac{\sqrt{25}}{4} + \frac{1}{5} = \frac{5}{4} + \frac{1}{5} = 1.25 + 0.2 = 1.45$ ч.
Сравнивая полученные значения, видим, что минимальное время достигается при $x=4$. Это означает, что лодка должна пристать к берегу в точке, находящейся на расстоянии 4 км от точки $A$ в направлении села $B$.
Ответ: Лодка должна пристать к берегу в точке, находящейся на расстоянии 4 км от точки A в сторону села B.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 321 расположенного на странице 159 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №321 (с. 159), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.