Номер 323, страница 159 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 6. Применения производной к исследованию функции. Глава 2. Производная и её применения - номер 323, страница 159.

Условие.

323. Докажите, что из всех прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.

Решение 1.

Решение 5.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и заданной гипотенузой $c$. Площадь такого треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. Нам необходимо найти, при каком соотношении между катетами $a$ и $b$ (при постоянной гипотенузе $c$) площадь $S$ будет максимальной.

Докажем это утверждение, выразив площадь треугольника через один из его острых углов.

Пусть один из острых углов треугольника равен $\alpha$. Тогда другой острый угол равен $90^\circ - \alpha$. Катеты треугольника можно выразить через гипотенузу $c$ и угол $\alpha$:
$a = c \cdot \cos(\alpha)$
$b = c \cdot \sin(\alpha)$

Подставим эти выражения в формулу площади: $S(\alpha) = \frac{1}{2} (c \cdot \cos(\alpha)) (c \cdot \sin(\alpha)) = \frac{1}{2}c^2 \sin(\alpha)\cos(\alpha)$

Применим формулу синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $. Отсюда следует, что $ \sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{2} $.

Тогда выражение для площади можно переписать в виде: $S(\alpha) = \frac{1}{2}c^2 \cdot \frac{\sin(2\alpha)}{2} = \frac{c^2}{4}\sin(2\alpha)$

Поскольку гипотенуза $c$ является заданной постоянной величиной, то площадь треугольника $S$ является функцией только от угла $\alpha$. Чтобы площадь $S$ была максимальной, необходимо, чтобы множитель $\sin(2\alpha)$ принимал свое максимальное значение.

Наибольшее значение функции синус равно 1. Следовательно, для достижения максимальной площади нужно, чтобы выполнялось равенство $\sin(2\alpha) = 1$.

Острый угол прямоугольного треугольника $\alpha$ находится в интервале $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Соответственно, угол $2\alpha$ находится в интервале $0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$. В этом интервале равенство $\sin(2\alpha) = 1$ выполняется только при $2\alpha = 90^\circ$.

Из этого уравнения находим значение угла $\alpha$: $\alpha = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Если один острый угол прямоугольного треугольника равен $45^\circ$, то второй острый угол также равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. В данном случае это означает, что катеты, лежащие напротив равных углов, равны между собой, то есть $a=b$.

Таким образом, мы доказали, что из всех прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой наибольшую площадь имеет тот, у которого катеты равны, то есть равнобедренный прямоугольный треугольник.

Ответ: Утверждение доказано. Наибольшая площадь среди всех прямоугольных треугольников с фиксированной гипотенузой достигается, когда треугольник является равнобедренным.