Страница 159 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

313.— Кусок проволоки длиной 48 м сгибают так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Пусть стороны искомого прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр этого прямоугольника равен длине проволоки, то есть 48 м.

Формула периметра прямоугольника: $P = 2(a + b)$. Подставляем известное значение периметра:
$2(a + b) = 48$

Разделив обе части уравнения на 2, получим соотношение между сторонами:
$a + b = 24$

Площадь прямоугольника $S$ определяется формулой $S = a \cdot b$. Задача состоит в том, чтобы найти такие $a$ и $b$, при которых площадь $S$ будет максимальной.

Из соотношения $a + b = 24$ выразим одну сторону через другую, например, $b = 24 - a$. Подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить функцию площади, зависящую от одной переменной $a$:
$S(a) = a \cdot (24 - a) = 24a - a^2$

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = -a^2 + 24a$. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $a^2$ отрицателен). Максимальное значение такой функции достигается в её вершине.

Абсциссу вершины параболы, заданной уравнением $y = Ax^2 + Bx + C$, находят по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$. В нашем случае переменная — это $a$, а коэффициенты равны $A = -1$ и $B = 24$.

Найдем значение $a$, при котором площадь $S$ достигает максимума:
$a = -\frac{24}{2 \cdot (-1)} = -\frac{24}{-2} = 12$

Таким образом, длина одной стороны прямоугольника равна 12 м. Найдем длину второй стороны $b$:
$b = 24 - a = 24 - 12 = 12$

Следовательно, чтобы площадь была наибольшей, прямоугольник должен быть квадратом со стороной 12 м.

Ответ: чтобы площадь прямоугольника была наибольшей, его стороны должны иметь длину по 12 м.

Число 54 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых, два из которых пропорциональны числам 1 и 2, таким образом, чтобы произведение всех слагаемых было наибольшим.

Пусть искомые три положительных слагаемых будут $x$, $y$ и $z$.

Согласно условию задачи, их сумма равна 54:
$x + y + z = 54$

Также по условию, два из этих слагаемых, например $x$ и $y$, пропорциональны числам 1 и 2. Это означает, что существует некоторый коэффициент пропорциональности $k > 0$ такой, что:
$\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = k$
Отсюда выражаем $x$ и $y$ через $k$:
$x = k$
$y = 2k$

Теперь подставим эти выражения в уравнение суммы:
$k + 2k + z = 54$
$3k + z = 54$
Выразим третье слагаемое $z$ через $k$:
$z = 54 - 3k$

Нам необходимо найти наибольшее значение произведения всех трех слагаемых $P = x \cdot y \cdot z$. Выразим это произведение как функцию от одной переменной $k$:
$P(k) = (k)(2k)(54 - 3k) = 2k^2(54 - 3k) = 108k^2 - 6k^3$

Так как все слагаемые должны быть положительными, наложим ограничения на $k$:
$x = k > 0$
$y = 2k > 0 \implies k > 0$
$z = 54 - 3k > 0 \implies 54 > 3k \implies k < 18$
Таким образом, мы ищем максимум функции $P(k)$ на интервале $(0, 18)$.

Для нахождения максимума найдем производную функции $P(k)$ по $k$ и приравняем ее к нулю:
$P'(k) = (108k^2 - 6k^3)' = 2 \cdot 108k - 3 \cdot 6k^2 = 216k - 18k^2$

Приравняем производную к нулю:
$216k - 18k^2 = 0$
$18k(12 - k) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $k_1 = 0$ и $k_2 = 12$.

Корень $k_1 = 0$ не входит в наш интервал $(0, 18)$, так как слагаемые должны быть положительными. Единственной критической точкой в интервале является $k = 12$.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой максимума, найдем вторую производную:
$P''(k) = (216k - 18k^2)' = 216 - 36k$
Вычислим значение второй производной в точке $k = 12$:
$P''(12) = 216 - 36 \cdot 12 = 216 - 432 = -216$
Поскольку $P''(12) < 0$, точка $k = 12$ является точкой максимума функции.

Теперь найдем искомые слагаемые, подставив значение $k = 12$:
$x = k = 12$
$y = 2k = 2 \cdot 12 = 24$
$z = 54 - 3k = 54 - 3 \cdot 12 = 54 - 36 = 18$

Таким образом, три слагаемых, дающих в сумме 54 и имеющих наибольшее произведение при заданных условиях, это 12, 24 и 18.

Ответ: искомые слагаемые равны 12, 18 и 24.

315.— Число 16 представьте в виде произведения двух положительных чисел, сумма квадратов которых будет наименьшей.

Пусть искомые положительные числа будут $x$ и $y$. По условию задачи, их произведение равно 16.

$x \cdot y = 16$

Нам нужно найти такие $x > 0$ и $y > 0$, чтобы сумма их квадратов была наименьшей. Обозначим эту сумму через $S$.

$S = x^2 + y^2$

Выразим одну переменную через другую из первого уравнения. Например, выразим $y$ через $x$:

$y = \frac{16}{x}$

Теперь подставим это выражение в формулу для суммы квадратов, чтобы получить функцию одной переменной $x$:

$S(x) = x^2 + (\frac{16}{x})^2 = x^2 + \frac{256}{x^2}$

Чтобы найти наименьшее значение функции $S(x)$, найдем ее производную по $x$ и приравняем к нулю.

$S'(x) = (x^2 + \frac{256}{x^2})' = (x^2 + 256x^{-2})' = 2x + 256(-2)x^{-3} = 2x - \frac{512}{x^3}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$2x - \frac{512}{x^3} = 0$

$2x = \frac{512}{x^3}$

$2x^4 = 512$

$x^4 = 256$

Так как по условию $x$ — положительное число, мы ищем только положительный корень:

$x = \sqrt[4]{256} = 4$

Чтобы убедиться, что в точке $x=4$ функция $S(x)$ достигает минимума, найдем вторую производную:

$S''(x) = (2x - 512x^{-3})' = 2 - 512(-3)x^{-4} = 2 + \frac{1536}{x^4}$

Проверим знак второй производной в точке $x=4$:

$S''(4) = 2 + \frac{1536}{4^4} = 2 + \frac{1536}{256} = 2 + 6 = 8$

Поскольку $S''(4) = 8 > 0$, в точке $x=4$ функция имеет минимум.

Теперь найдем второе число $y$:

$y = \frac{16}{x} = \frac{16}{4} = 4$

Таким образом, искомые числа — это 4 и 4. Их произведение равно $4 \cdot 4 = 16$, а сумма их квадратов $4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$ является наименьшей.

Ответ: Число 16 нужно представить в виде произведения $4 \cdot 4$.

316.— Площадь прямоугольника $64 \text{ см}^2$. Какую длину должны иметь его стороны, чтобы периметр был наименьшим?

Обозначим длину и ширину прямоугольника как $a$ и $b$.

Площадь прямоугольника $S$ определяется формулой $S = a \cdot b$. По условию задачи, площадь равна $64 \text{ см}^2$, следовательно, мы имеем уравнение:
$a \cdot b = 64$

Периметр прямоугольника $P$ определяется формулой $P = 2(a + b)$. Нам необходимо найти такие значения $a$ и $b$, при которых значение $P$ будет наименьшим.

Для решения этой задачи оптимизации выразим одну переменную через другую, используя уравнение для площади. Например, выразим $b$ через $a$:
$b = \frac{64}{a}$

Теперь подставим это выражение в формулу периметра. Таким образом, периметр станет функцией одной переменной $a$:
$P(a) = 2\left(a + \frac{64}{a}\right)$

Чтобы найти наименьшее значение этой функции, нужно найти ее производную по переменной $a$ и приравнять ее к нулю.
$P'(a) = \frac{d}{da} \left( 2a + \frac{128}{a} \right) = 2 - \frac{128}{a^2}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$2 - \frac{128}{a^2} = 0$
$2 = \frac{128}{a^2}$
$2a^2 = 128$
$a^2 = 64$

Поскольку $a$ — это длина стороны, она должна быть положительной величиной. Следовательно, мы берем только положительный корень уравнения:
$a = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$

Чтобы проверить, что найденная точка является точкой минимума, можно найти вторую производную:
$P''(a) = \frac{d}{da} \left( 2 - 128a^{-2} \right) = (-2)(-128)a^{-3} = \frac{256}{a^3}$.
При $a=8$, значение второй производной $P''(8) = \frac{256}{8^3}$ будет положительным, что подтверждает, что в этой точке функция периметра достигает своего минимума.

Теперь, зная значение $a$, найдем значение $b$:
$b = \frac{64}{a} = \frac{64}{8} = 8 \text{ см}$

Таким образом, для того чтобы периметр был наименьшим при заданной площади, прямоугольник должен быть квадратом.

Ответ: стороны прямоугольника должны быть равны 8 см и 8 см.

317.— Открытый бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать 13,5 л жидкости. При каких размерах бака на его изготовление потребуется наименьшее количество металла?

Для решения этой задачи по оптимизации нам необходимо найти размеры открытого бака, при которых площадь его поверхности будет минимальной при заданном объеме.

Пусть $a$ — сторона квадратного основания бака, а $h$ — его высота. Размеры будем измерять в дециметрах (дм), так как объем дан в литрах, а $1 \text{ л} = 1 \text{ дм}^3$.

Заданный объем бака $V = 13.5 \text{ л} = 13.5 \text{ дм}^3$.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием:

$V = a^2h$

Отсюда следует наше основное ограничение: $a^2h = 13.5$.

Количество металла, необходимое для изготовления бака, пропорционально площади его поверхности $S$. Так как бак открытый (без верхней крышки), его поверхность состоит из площади основания и площади четырех боковых стенок.

Площадь основания: $S_{осн} = a^2$

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 4ah$

Суммарная площадь поверхности, которую нужно минимизировать:

$S = S_{осн} + S_{бок} = a^2 + 4ah$

Чтобы найти минимум функции $S(a, h)$, выразим одну переменную через другую, используя уравнение для объема. Удобнее выразить $h$:

$h = \frac{13.5}{a^2}$

Теперь подставим это выражение в формулу для площади поверхности, чтобы получить функцию одной переменной $a$:

$S(a) = a^2 + 4a \left( \frac{13.5}{a^2} \right) = a^2 + \frac{54}{a}$

Для нахождения минимального значения функции $S(a)$, найдем ее производную по $a$ и приравняем ее к нулю.

$S'(a) = \frac{d}{da} \left( a^2 + 54a^{-1} \right) = 2a - 54a^{-2} = 2a - \frac{54}{a^2}$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:

$2a - \frac{54}{a^2} = 0$

$2a = \frac{54}{a^2}$

$2a^3 = 54$

$a^3 = 27$

$a = \sqrt[3]{27} = 3$

Таким образом, сторона основания равна 3 дм. Убедимся, что это точка минимума, проверив знак второй производной:

$S''(a) = \frac{d}{da} \left( 2a - 54a^{-2} \right) = 2 + 108a^{-3} = 2 + \frac{108}{a^3}$

При $a=3$, $S''(3) = 2 + \frac{108}{27} = 2+4=6$. Так как $S''(3) > 0$, то при $a=3$ функция $S(a)$ достигает своего минимума.

Теперь найдем соответствующую высоту $h$:

$h = \frac{13.5}{a^2} = \frac{13.5}{3^2} = \frac{13.5}{9} = 1.5$

Следовательно, высота бака равна 1,5 дм.

Ответ: для того чтобы на изготовление бака потребовалось наименьшее количество металла, сторона его квадратного основания должна быть равна 3 дм, а высота — 1,5 дм.

318.— В равнобедренный треугольник с основанием 60 см и боковой стороной 50 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим данный равнобедренный треугольник как $ABC$, где $AC$ — основание, а $AB$ и $BC$ — боковые стороны. Согласно условию задачи, $AC = 60$ см и $AB = BC = 50$ см.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $H$ является серединой основания $AC$, и $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Применим теорему Пифагора для нахождения длины высоты $BH$:
$BH^2 + HC^2 = BC^2$
$BH^2 + 30^2 = 50^2$
$BH^2 + 900 = 2500$
$BH^2 = 1600$
$BH = \sqrt{1600} = 40$ см.

Пусть в треугольник $ABC$ вписан прямоугольник $KLMN$, имеющий наибольшую площадь. Вершины $K$ и $L$ лежат на основании $AC$, а вершины $M$ и $N$ — на боковых сторонах $BC$ и $AB$ соответственно.

Обозначим стороны прямоугольника: пусть его длина (сторона, параллельная основанию) $KL = x$, а его высота (сторона, перпендикулярная основанию) $ML = NK = y$. Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = x \cdot y$. Наша задача — найти значения $x$ и $y$, при которых площадь $S$ будет максимальной.

Рассмотрим малый треугольник $NBM$, расположенный над прямоугольником. Этот треугольник подобен большому треугольнику $ABC$, так как их углы равны (угол при вершине $B$ является общим, а сторона $NM$ параллельна $AC$, поэтому углы при основаниях этих треугольников попарно равны как соответственные).

Высота $BH$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $NM$ прямоугольника. Обозначим точку пересечения как $P$. Тогда отрезок $BP$ является высотой треугольника $NBM$. Длина этой высоты равна $BP = BH - PH$. Поскольку $PH$ — это высота прямоугольника, $PH = y$. Таким образом, $BP = 40 - y$.

Из подобия треугольников $NBM$ и $ABC$ следует отношение их высот и оснований: $\frac{NM}{AC} = \frac{BP}{BH}$

Подставим в это соотношение известные нам значения: $NM = x$, $AC = 60$, $BP = 40 - y$, $BH = 40$. $\frac{x}{60} = \frac{40 - y}{40}$

Из этого уравнения выразим $x$ через $y$: $x = 60 \cdot \frac{40 - y}{40} = \frac{3}{2}(40 - y) = 60 - \frac{3}{2}y$.

Теперь можно записать площадь прямоугольника как функцию одной переменной $y$: $S(y) = x \cdot y = (60 - \frac{3}{2}y) \cdot y = 60y - \frac{3}{2}y^2$.

Полученная функция $S(y)$ является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $y^2$ отрицателен ($a = -3/2$). Максимальное значение такая функция принимает в своей вершине. Найдем координату вершины $y_0$ по формуле $y_0 = -\frac{b}{2a}$: $y_0 = -\frac{60}{2 \cdot (-\frac{3}{2})} = -\frac{60}{-3} = 20$ см.

Это значение $y$ соответствует высоте прямоугольника с наибольшей площадью. Теперь найдем его длину $x$: $x = 60 - \frac{3}{2}y = 60 - \frac{3}{2} \cdot 20 = 60 - 30 = 30$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника наибольшей площади равны 30 см и 20 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 30 см и 20 см.

319. Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения бревна равен 20 см.

Пусть сечение бревна представляет собой круг с центром в начале координат. Радиус этого круга по условию равен $R = 20$ см. Тогда диаметр круга равен $D = 2R = 40$ см.

В этот круг вписан прямоугольник, который является сечением балки. Обозначим стороны этого прямоугольника как $a$ и $b$. Диагональ вписанного прямоугольника равна диаметру описанной окружности, то есть $D$.

По теореме Пифагора для прямоугольника со сторонами $a$, $b$ и диагональю $D$ имеем соотношение:

$a^2 + b^2 = D^2$

$a^2 + b^2 = 40^2 = 1600$

Площадь прямоугольного сечения балки равна $S = a \cdot b$. Нам нужно найти такие значения $a$ и $b$, при которых площадь $S$ будет максимальной.

Выразим одну из сторон, например $b$, через другую из соотношения по теореме Пифагора:

$b^2 = 1600 - a^2 \implies b = \sqrt{1600 - a^2}$ (берем положительное значение, так как $b$ - это длина стороны).

Теперь подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить функцию площади, зависящую от одной переменной $a$:

$S(a) = a \cdot \sqrt{1600 - a^2}$

Чтобы найти максимум функции $S(a)$, можно исследовать на максимум ее квадрат, $S^2(a)$, так как $S(a) > 0$. Это упрощает вычисления, избавляя от квадратного корня.

Пусть $f(a) = S^2(a) = a^2 (1600 - a^2) = 1600a^2 - a^4$.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции $f(a)$ и приравняем ее к нулю:

$f'(a) = (1600a^2 - a^4)' = 1600 \cdot 2a - 4a^3 = 3200a - 4a^3$

Приравняем производную к нулю:

$3200a - 4a^3 = 0$

$4a(800 - a^2) = 0$

Поскольку $a$ — это длина стороны, $a > 0$. Следовательно, мы решаем уравнение:

$800 - a^2 = 0$

$a^2 = 800$

$a = \sqrt{800} = \sqrt{400 \cdot 2} = 20\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем размер второй стороны $b$:

$b^2 = 1600 - a^2 = 1600 - 800 = 800$

$b = \sqrt{800} = \sqrt{400 \cdot 2} = 20\sqrt{2}$ см.

Таким образом, для получения балки с сечением наибольшей площади, это сечение должно быть квадратом со стороной $20\sqrt{2}$ см.

Ответ: размеры сечения балки должны быть $20\sqrt{2}$ см на $20\sqrt{2}$ см.

320. Буровая вышка расположена в поле в 9 км от ближайшей точки шоссе. С буровой надо направить курьера в пункт, расположенный по шоссе в 15 км от упомянутой точки (считаем шоссе прямолинейным). Скорость курьера на велосипеде по полю 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время достигнуть пункта?

Для решения задачи введем систему координат. Пусть прямая, по которой проходит шоссе, будет осью абсцисс ($Ox$). Точку на шоссе, ближайшую к буровой вышке, обозначим как $A$ и поместим ее в начало координат $(0, 0)$. Тогда буровая вышка $B$ будет иметь координаты $(0, 9)$. Пункт назначения $C$, расположенный на шоссе в 15 км от точки $A$, будет иметь координаты $(15, 0)$.

Курьер должен доехать из точки $B(0, 9)$ до некоторой точки $D$ на шоссе, а затем по шоссе до точки $C(15, 0)$. Пусть точка $D$ имеет координаты $(x, 0)$, где $x$ — расстояние от точки $A$ до точки $D$. Маршрут курьера состоит из двух участков: $BD$ (по полю) и $DC$ (по шоссе).

1. Участок по полю (BD):
Расстояние $S_1$ этого участка найдем по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABD$:
$S_1 = BD = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{x^2 + 9^2} = \sqrt{x^2 + 81}$ км.
Скорость курьера по полю $v_1 = 8$ км/ч.
Время, затраченное на этот участок: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{\sqrt{x^2 + 81}}{8}$ ч.

2. Участок по шоссе (DC):
Расстояние $S_2$ этого участка:
$S_2 = DC = AC - AD = 15 - x$ км.
Предполагаем, что точка $D$ находится между $A$ и $C$, то есть $0 \le x \le 15$.
Скорость курьера по шоссе $v_2 = 10$ км/ч.
Время, затраченное на этот участок: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{15 - x}{10}$ ч.

Общее время в пути:
Общее время $T$ является функцией от $x$ и равно сумме времен на обоих участках:
$T(x) = t_1 + t_2 = \frac{\sqrt{x^2 + 81}}{8} + \frac{15 - x}{10}$.

Чтобы найти кратчайшее время, необходимо найти значение $x$, при котором функция $T(x)$ достигает своего минимума на отрезке $[0, 15]$. Для этого найдем производную функции $T(x)$ и приравняем ее к нулю.

Поиск минимума функции:
$T'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sqrt{x^2 + 81}}{8} + \frac{15 - x}{10} \right) = \frac{1}{8} \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 81}} - \frac{1}{10} = \frac{x}{8\sqrt{x^2 + 81}} - \frac{1}{10}$.

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$\frac{x}{8\sqrt{x^2 + 81}} - \frac{1}{10} = 0$
$\frac{x}{8\sqrt{x^2 + 81}} = \frac{1}{10}$
$10x = 8\sqrt{x^2 + 81}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что $x$ должно быть неотрицательным:
$100x^2 = 64(x^2 + 81)$
$100x^2 = 64x^2 + 64 \cdot 81$
$36x^2 = 64 \cdot 81$
$x^2 = \frac{64 \cdot 81}{36} = \frac{5184}{36} = 144$
$x = \sqrt{144} = 12$.

Полученное значение $x = 12$ км находится в пределах рассматриваемого отрезка $[0, 15]$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, проверим знак производной $T'(x)$ слева и справа от $x = 12$.
- При $x < 12$ (например, $x = 0$), $T'(0) = 0 - \frac{1}{10} < 0$, функция убывает.
- При $x > 12$ (например, $x = 15$), $T'(15) = \frac{15}{8\sqrt{15^2+81}} - \frac{1}{10} = \frac{15}{8\sqrt{306}} - \frac{1}{10} > 0$, так как $150^2 > (8\sqrt{306})^2$. Функция возрастает.
Поскольку производная меняет знак с минуса на плюс, $x=12$ является точкой минимума.

Таким образом, чтобы достичь пункта назначения в кратчайшее время, курьеру следует ехать по полю до точки на шоссе, находящейся на расстоянии 12 км от ближайшей к вышке точки $A$ в направлении пункта $C$.

Ответ: Курьеру надо ехать к точке на шоссе, которая находится на расстоянии 12 км от ближайшей к буровой вышке точки, двигаясь в сторону пункта назначения.

321.- Лодка находится на озере на расстоянии 3 км от ближайшей точки $A$ берега. Пассажир лодки желает достигнуть села $B$, находящегося на берегу на расстоянии 5 км от $A$ (участок $AB$ берега считаем прямолинейным). Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села в кратчайшее время?

Для решения задачи введем систему координат. Пусть берег озера совпадает с осью $Ox$, а точка $A$ — с началом координат $(0, 0)$. Тогда село $B$ будет иметь координаты $(5, 0)$. Поскольку точка $A$ является ближайшей точкой берега к лодке, то перпендикуляр, опущенный из начального положения лодки (обозначим его $L$) на берег, попадет в точку $A$. Таким образом, начальное положение лодки $L$ имеет координаты $(0, 3)$.

Пассажир должен пристать к некоторой точке $P$ на берегу, чтобы затем пешком дойти до села $B$. Пусть точка $P$ имеет координаты $(x, 0)$, где $0 \le x \le 5$. Маршрут пассажира состоит из двух частей:

1. Путь на лодке от точки $L(0, 3)$ до точки $P(x, 0)$.
2. Путь пешком от точки $P(x, 0)$ до точки $B(5, 0)$.

Найдем длины этих участков пути.

Расстояние, которое пройдет лодка, $S_1$, равно длине отрезка $LP$. По теореме Пифагора:

$S_1 = LP = \sqrt{(x-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{x^2 + 9}$ км.

Скорость лодки $v_1 = 4$ км/ч. Время движения на лодке:

$t_1(x) = \frac{S_1}{v_1} = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{4}$ ч.

Расстояние, которое пассажир пройдет пешком, $S_2$, равно длине отрезка $PB$:

$S_2 = PB = 5 - x$ км.

Скорость пассажира пешком $v_2 = 5$ км/ч. Время движения пешком:

$t_2(x) = \frac{S_2}{v_2} = \frac{5 - x}{5}$ ч.

Общее время в пути $T(x)$ является суммой $t_1(x)$ и $t_2(x)$:

$T(x) = t_1(x) + t_2(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{4} + \frac{5 - x}{5}$

Чтобы найти кратчайшее время, необходимо найти минимум функции $T(x)$ на отрезке $[0, 5]$. Для этого найдем производную функции $T(x)$ по переменной $x$ и приравняем ее к нулю.

$T'(x) = \left(\frac{\sqrt{x^2 + 9}}{4} + \frac{5 - x}{5}\right)' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 9}} \cdot (x^2+9)' - \frac{1}{5} = \frac{2x}{8\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{1}{5} = \frac{x}{4\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{1}{5}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:

$T'(x) = 0 \implies \frac{x}{4\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{1}{5} = 0$

$\frac{x}{4\sqrt{x^2 + 9}} = \frac{1}{5}$

$5x = 4\sqrt{x^2 + 9}$

Возведем обе части уравнения в квадрат (поскольку $x \ge 0$, это преобразование является равносильным):

$(5x)^2 = (4\sqrt{x^2 + 9})^2$

$25x^2 = 16(x^2 + 9)$

$25x^2 = 16x^2 + 144$

$9x^2 = 144$

$x^2 = \frac{144}{9} = 16$

$x = 4$ (отрицательный корень не подходит, так как точка $P$ лежит на отрезке $AB$).

Точка $x=4$ принадлежит отрезку $[0, 5]$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, можно исследовать знак производной или найти значения функции на концах отрезка и в критической точке.

• $T(0) = \frac{\sqrt{0^2 + 9}}{4} + \frac{5 - 0}{5} = \frac{3}{4} + 1 = 1.75$ ч.
• $T(5) = \frac{\sqrt{5^2 + 9}}{4} + \frac{5 - 5}{5} = \frac{\sqrt{25 + 9}}{4} + 0 = \frac{\sqrt{34}}{4} \approx \frac{5.83}{4} \approx 1.458$ ч.
• $T(4) = \frac{\sqrt{4^2 + 9}}{4} + \frac{5 - 4}{5} = \frac{\sqrt{16 + 9}}{4} + \frac{1}{5} = \frac{\sqrt{25}}{4} + \frac{1}{5} = \frac{5}{4} + \frac{1}{5} = 1.25 + 0.2 = 1.45$ ч.

Сравнивая полученные значения, видим, что минимальное время достигается при $x=4$. Это означает, что лодка должна пристать к берегу в точке, находящейся на расстоянии 4 км от точки $A$ в направлении села $B$.

Ответ: Лодка должна пристать к берегу в точке, находящейся на расстоянии 4 км от точки A в сторону села B.

322. Найдите число, сумма которого со своим квадратом принимает наименьшее значение.

Пусть искомое число — это $x$. Тогда сумма этого числа с его квадратом выражается функцией $S(x) = x + x^2$. Наша задача — найти значение $x$, при котором эта функция принимает наименьшее значение.

Функция $S(x) = x^2 + x$ является квадратичной. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при старшем члене $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума, которая совпадает с вершиной параболы.

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, находится по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

В нашем случае, для функции $S(x) = x^2 + x$, мы имеем коэффициенты $a = 1$ и $b = 1$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения абсциссы вершины: $x = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$

Таким образом, число, сумма которого со своим квадратом принимает наименьшее значение, равно $-\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

323. Докажите, что из всех прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и заданной гипотенузой $c$. Площадь такого треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$. Нам необходимо найти, при каком соотношении между катетами $a$ и $b$ (при постоянной гипотенузе $c$) площадь $S$ будет максимальной.

Докажем это утверждение, выразив площадь треугольника через один из его острых углов.

Пусть один из острых углов треугольника равен $\alpha$. Тогда другой острый угол равен $90^\circ - \alpha$. Катеты треугольника можно выразить через гипотенузу $c$ и угол $\alpha$:
$a = c \cdot \cos(\alpha)$
$b = c \cdot \sin(\alpha)$

Подставим эти выражения в формулу площади: $S(\alpha) = \frac{1}{2} (c \cdot \cos(\alpha)) (c \cdot \sin(\alpha)) = \frac{1}{2}c^2 \sin(\alpha)\cos(\alpha)$

Применим формулу синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $. Отсюда следует, что $ \sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{2} $.

Тогда выражение для площади можно переписать в виде: $S(\alpha) = \frac{1}{2}c^2 \cdot \frac{\sin(2\alpha)}{2} = \frac{c^2}{4}\sin(2\alpha)$

Поскольку гипотенуза $c$ является заданной постоянной величиной, то площадь треугольника $S$ является функцией только от угла $\alpha$. Чтобы площадь $S$ была максимальной, необходимо, чтобы множитель $\sin(2\alpha)$ принимал свое максимальное значение.

Наибольшее значение функции синус равно 1. Следовательно, для достижения максимальной площади нужно, чтобы выполнялось равенство $\sin(2\alpha) = 1$.

Острый угол прямоугольного треугольника $\alpha$ находится в интервале $0^\circ < \alpha < 90^\circ$. Соответственно, угол $2\alpha$ находится в интервале $0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$. В этом интервале равенство $\sin(2\alpha) = 1$ выполняется только при $2\alpha = 90^\circ$.

Из этого уравнения находим значение угла $\alpha$: $\alpha = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Если один острый угол прямоугольного треугольника равен $45^\circ$, то второй острый угол также равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. В данном случае это означает, что катеты, лежащие напротив равных углов, равны между собой, то есть $a=b$.

Таким образом, мы доказали, что из всех прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой наибольшую площадь имеет тот, у которого катеты равны, то есть равнобедренный прямоугольный треугольник.

Ответ: Утверждение доказано. Наибольшая площадь среди всех прямоугольных треугольников с фиксированной гипотенузой достигается, когда треугольник является равнобедренным.