Номер 313, страница 159 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 6. Применения производной к исследованию функции. Глава 2. Производная и её применения - номер 313, страница 159.

Условие.

313.— Кусок проволоки длиной 48 м сгибают так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть стороны искомого прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр этого прямоугольника равен длине проволоки, то есть 48 м.

Формула периметра прямоугольника: $P = 2(a + b)$. Подставляем известное значение периметра:
$2(a + b) = 48$

Разделив обе части уравнения на 2, получим соотношение между сторонами:
$a + b = 24$

Площадь прямоугольника $S$ определяется формулой $S = a \cdot b$. Задача состоит в том, чтобы найти такие $a$ и $b$, при которых площадь $S$ будет максимальной.

Из соотношения $a + b = 24$ выразим одну сторону через другую, например, $b = 24 - a$. Подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить функцию площади, зависящую от одной переменной $a$:
$S(a) = a \cdot (24 - a) = 24a - a^2$

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = -a^2 + 24a$. Её график — это парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $a^2$ отрицателен). Максимальное значение такой функции достигается в её вершине.

Абсциссу вершины параболы, заданной уравнением $y = Ax^2 + Bx + C$, находят по формуле $x_0 = -\frac{B}{2A}$. В нашем случае переменная — это $a$, а коэффициенты равны $A = -1$ и $B = 24$.

Найдем значение $a$, при котором площадь $S$ достигает максимума:
$a = -\frac{24}{2 \cdot (-1)} = -\frac{24}{-2} = 12$

Таким образом, длина одной стороны прямоугольника равна 12 м. Найдем длину второй стороны $b$:
$b = 24 - a = 24 - 12 = 12$

Следовательно, чтобы площадь была наибольшей, прямоугольник должен быть квадратом со стороной 12 м.

Ответ: чтобы площадь прямоугольника была наибольшей, его стороны должны иметь длину по 12 м.