Номер 308, страница 158 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 308, страница 158.

Условие.

308.- Найдите значения аргумента из промежутка $[-2; 5]$, при которых скорость изменения функции $f(x) = 21x + 2x^2 - \frac{x^3}{3}$ будет наибольшей или наименьшей.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Скорость изменения функции в точке определяется значением ее производной в этой точке. Обозначим функцию скорости изменения как $v(x)$.

Дана функция: $f(x) = 21x + 2x^2 - \frac{x^3}{3}$.

Найдем ее производную, чтобы получить функцию, описывающую скорость изменения:

$v(x) = f'(x) = (21x + 2x^2 - \frac{x^3}{3})' = 21 + 4x - \frac{3x^2}{3} = -x^2 + 4x + 21$.

Теперь задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции $v(x) = -x^2 + 4x + 21$ на отрезке $[-2; 5]$.

Для нахождения экстремумов функции на отрезке, необходимо найти ее производную и критические точки (точки, в которых производная равна нулю или не существует).

$v'(x) = (-x^2 + 4x + 21)' = -2x + 4$.

Приравняем производную к нулю:

$-2x + 4 = 0$

$-2x = -4$

$x = 2$.

Критическая точка $x=2$ принадлежит заданному промежутку $[-2; 5]$.

Далее, вычислим значения функции скорости $v(x)$ в найденной критической точке $x=2$ и на концах отрезка $x=-2$ и $x=5$.

При $x = -2$: $v(-2) = -(-2)^2 + 4(-2) + 21 = -4 - 8 + 21 = 9$.

При $x = 2$: $v(2) = -(2)^2 + 4(2) + 21 = -4 + 8 + 21 = 25$.

При $x = 5$: $v(5) = -(5)^2 + 4(5) + 21 = -25 + 20 + 21 = 16$.

Сравнивая полученные значения ($9$, $25$ и $16$), мы можем определить, при каких значениях аргумента скорость изменения будет наибольшей и наименьшей.

Скорость изменения будет наибольшей

Наибольшее значение скорости на отрезке $[-2; 5]$ равно $25$ и достигается при значении аргумента $x=2$.

Ответ: $x=2$.

Скорость изменения будет наименьшей

Наименьшее значение скорости на отрезке $[-2; 5]$ равно $9$ и достигается при значении аргумента $x=-2$.

Ответ: $x=-2$.