Номер 312, страница 158 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 312, страница 158.

Условие.

312. Число 4 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Обозначим два искомых неотрицательных слагаемых как $x$ и $y$.

По условию задачи, их сумма равна 4. Это можно записать в виде уравнения:
$x + y = 4$

Также по условию слагаемые должны быть неотрицательными, то есть:
$x \geq 0$ и $y \geq 0$

Нам необходимо найти такие значения $x$ и $y$, при которых их произведение $P = x \cdot y$ будет максимальным.

Для того чтобы найти максимум произведения, выразим одну переменную через другую из уравнения суммы. Например, выразим $y$ через $x$:
$y = 4 - x$

Теперь подставим это выражение в формулу для произведения $P$:
$P(x) = x \cdot (4 - x) = 4x - x^2$

Мы получили функцию $P(x) = -x^2 + 4x$, которую нужно максимизировать. Эта функция является квадратичной, ее график — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен (равен -1), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что парабола имеет точку максимума, которая является ее вершиной.

Координата $x_v$ вершины параболы вида $ax^2 + bx + c$ вычисляется по формуле:
$x_v = -\frac{b}{2a}$

В нашем случае, для функции $P(x) = -x^2 + 4x$, коэффициенты равны $a = -1$ и $b = 4$. Найдем координату $x$ вершины:
$x = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2$

Теперь, зная значение $x$, найдем соответствующее значение $y$:
$y = 4 - x = 4 - 2 = 2$

Мы нашли два слагаемых: 2 и 2. Проверим, удовлетворяют ли они условиям: оба числа неотрицательны ($2 \ge 0$), и их сумма равна $2 + 2 = 4$. Их произведение равно $2 \cdot 2 = 4$, и это значение является максимально возможным для данной задачи.

Ответ: Число 4 следует представить в виде суммы $2 + 2$.