Номер 311, страница 158 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 311, страница 158.

Условие.

311.--

Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть искомые два неотрицательных числа — это $x$ и $y$.
Согласно условию задачи, их сумма равна 24. Запишем это в виде уравнения:
$x + y = 24$

Нам необходимо найти такие $x$ и $y$, чтобы сумма их квадратов была наименьшей. Обозначим эту сумму буквой $S$:
$S = x^2 + y^2$

Чтобы найти минимум функции $S$, выразим ее через одну переменную. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 24 - x$

Теперь подставим это выражение в формулу для суммы квадратов $S$. Таким образом, $S$ станет функцией от переменной $x$:
$S(x) = x^2 + (24 - x)^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы упростить выражение:
$S(x) = x^2 + (24^2 - 2 \cdot 24 \cdot x + x^2)$
$S(x) = x^2 + 576 - 48x + x^2$
$S(x) = 2x^2 - 48x + 576$

Мы получили квадратичную функцию $S(x)$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ (равный 2) положителен. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Абсциссу $x_0$ вершины параболы вида $y = ax^2 + bx + c$ можно найти по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
В нашем случае коэффициенты равны $a = 2$ и $b = -48$. Найдем значение $x$:
$x = -\frac{-48}{2 \cdot 2} = \frac{48}{4} = 12$

Итак, мы нашли одно из слагаемых. Теперь найдем второе слагаемое $y$:
$y = 24 - x = 24 - 12 = 12$

Найденные числа $x=12$ и $y=12$ являются неотрицательными, что соответствует условию задачи. Таким образом, чтобы сумма квадратов двух неотрицательных слагаемых, дающих в сумме 24, была наименьшей, эти слагаемые должны быть равны 12 и 12.

Ответ: 12 и 12.