Номер 309, страница 158 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 6. Применения производной к исследованию функции. Глава 2. Производная и её применения - номер 309, страница 158.

Условие.

309. Скорость материальной точки, движущейся прямолинейно, изменяется по закону $v(t) = \frac{1}{6} t^3 - 12t$ (скорость измеряется в метрах в секунду). В какой момент времени ускорение движения будет наименьшим, если движение рассматривать за промежуток от $t_1 = 10 \, с$ до $t_2 = 50 \, с$?

Решение 1.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи необходимо найти функцию ускорения, а затем исследовать ее на наименьшее значение на заданном промежутке времени. Ускорение $a(t)$ по определению является производной от скорости $v(t)$ по времени $t$.

Закон изменения скорости материальной точки задан формулой: $v(t) = \frac{1}{6}t^3 - 12t$.

Найдем функцию ускорения, взяв производную от функции скорости по времени:
$a(t) = v'(t) = \left(\frac{1}{6}t^3 - 12t\right)' = \frac{1}{6} \cdot (t^3)' - (12t)' = \frac{1}{6} \cdot 3t^2 - 12 = \frac{1}{2}t^2 - 12$.

Теперь нужно найти, в какой момент времени $t$ на отрезке $[10; 50]$ функция ускорения $a(t) = \frac{1}{2}t^2 - 12$ принимает свое наименьшее значение. Для этого найдем производную функции ускорения $a(t)$ и определим ее знак на заданном интервале, чтобы понять характер монотонности функции.

Производная функции ускорения:
$a'(t) = \left(\frac{1}{2}t^2 - 12\right)' = \frac{1}{2} \cdot 2t - 0 = t$.

На всем рассматриваемом промежутке времени от $t_1 = 10$ с до $t_2 = 50$ с, то есть для любого $t \in [10; 50]$, производная $a'(t) = t$ будет положительной ($a'(t) > 0$).

Поскольку производная функции ускорения положительна на всем отрезке $[10; 50]$, это означает, что функция ускорения $a(t)$ является монотонно возрастающей на этом отрезке.

Для монотонно возрастающей функции на отрезке ее наименьшее значение достигается в начальной (левой) точке отрезка. В данном случае это точка $t_1 = 10$ с.

Следовательно, ускорение движения будет наименьшим в начальный момент рассматриваемого промежутка времени.

Ответ: наименьшее ускорение будет в момент времени $t = 10$ с.