Номер 314, страница 159 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 314, страница 159.

Условие.

314.—

Число 54 представьте в виде суммы трех положительных слагаемых, два из которых пропорциональны числам 1 и 2, таким образом, чтобы произведение всех слагаемых было наибольшим.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть искомые три положительных слагаемых будут $x$, $y$ и $z$.

Согласно условию задачи, их сумма равна 54:
$x + y + z = 54$

Также по условию, два из этих слагаемых, например $x$ и $y$, пропорциональны числам 1 и 2. Это означает, что существует некоторый коэффициент пропорциональности $k > 0$ такой, что:
$\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = k$
Отсюда выражаем $x$ и $y$ через $k$:
$x = k$
$y = 2k$

Теперь подставим эти выражения в уравнение суммы:
$k + 2k + z = 54$
$3k + z = 54$
Выразим третье слагаемое $z$ через $k$:
$z = 54 - 3k$

Нам необходимо найти наибольшее значение произведения всех трех слагаемых $P = x \cdot y \cdot z$. Выразим это произведение как функцию от одной переменной $k$:
$P(k) = (k)(2k)(54 - 3k) = 2k^2(54 - 3k) = 108k^2 - 6k^3$

Так как все слагаемые должны быть положительными, наложим ограничения на $k$:
$x = k > 0$
$y = 2k > 0 \implies k > 0$
$z = 54 - 3k > 0 \implies 54 > 3k \implies k < 18$
Таким образом, мы ищем максимум функции $P(k)$ на интервале $(0, 18)$.

Для нахождения максимума найдем производную функции $P(k)$ по $k$ и приравняем ее к нулю:
$P'(k) = (108k^2 - 6k^3)' = 2 \cdot 108k - 3 \cdot 6k^2 = 216k - 18k^2$

Приравняем производную к нулю:
$216k - 18k^2 = 0$
$18k(12 - k) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $k_1 = 0$ и $k_2 = 12$.

Корень $k_1 = 0$ не входит в наш интервал $(0, 18)$, так как слагаемые должны быть положительными. Единственной критической точкой в интервале является $k = 12$.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой максимума, найдем вторую производную:
$P''(k) = (216k - 18k^2)' = 216 - 36k$
Вычислим значение второй производной в точке $k = 12$:
$P''(12) = 216 - 36 \cdot 12 = 216 - 432 = -216$
Поскольку $P''(12) < 0$, точка $k = 12$ является точкой максимума функции.

Теперь найдем искомые слагаемые, подставив значение $k = 12$:
$x = k = 12$
$y = 2k = 2 \cdot 12 = 24$
$z = 54 - 3k = 54 - 3 \cdot 12 = 54 - 36 = 18$

Таким образом, три слагаемых, дающих в сумме 54 и имеющих наибольшее произведение при заданных условиях, это 12, 24 и 18.

Ответ: искомые слагаемые равны 12, 18 и 24.