Номер 319, страница 159 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Параграф 6. Применения производной к исследованию функции - номер 319, страница 159.

Условие.

319. Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения бревна равен 20 см.

Решение 1.

Решение 5.

Пусть сечение бревна представляет собой круг с центром в начале координат. Радиус этого круга по условию равен $R = 20$ см. Тогда диаметр круга равен $D = 2R = 40$ см.

В этот круг вписан прямоугольник, который является сечением балки. Обозначим стороны этого прямоугольника как $a$ и $b$. Диагональ вписанного прямоугольника равна диаметру описанной окружности, то есть $D$.

По теореме Пифагора для прямоугольника со сторонами $a$, $b$ и диагональю $D$ имеем соотношение:

$a^2 + b^2 = D^2$

$a^2 + b^2 = 40^2 = 1600$

Площадь прямоугольного сечения балки равна $S = a \cdot b$. Нам нужно найти такие значения $a$ и $b$, при которых площадь $S$ будет максимальной.

Выразим одну из сторон, например $b$, через другую из соотношения по теореме Пифагора:

$b^2 = 1600 - a^2 \implies b = \sqrt{1600 - a^2}$ (берем положительное значение, так как $b$ - это длина стороны).

Теперь подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить функцию площади, зависящую от одной переменной $a$:

$S(a) = a \cdot \sqrt{1600 - a^2}$

Чтобы найти максимум функции $S(a)$, можно исследовать на максимум ее квадрат, $S^2(a)$, так как $S(a) > 0$. Это упрощает вычисления, избавляя от квадратного корня.

Пусть $f(a) = S^2(a) = a^2 (1600 - a^2) = 1600a^2 - a^4$.

Для нахождения точки максимума найдем производную функции $f(a)$ и приравняем ее к нулю:

$f'(a) = (1600a^2 - a^4)' = 1600 \cdot 2a - 4a^3 = 3200a - 4a^3$

Приравняем производную к нулю:

$3200a - 4a^3 = 0$

$4a(800 - a^2) = 0$

Поскольку $a$ — это длина стороны, $a > 0$. Следовательно, мы решаем уравнение:

$800 - a^2 = 0$

$a^2 = 800$

$a = \sqrt{800} = \sqrt{400 \cdot 2} = 20\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем размер второй стороны $b$:

$b^2 = 1600 - a^2 = 1600 - 800 = 800$

$b = \sqrt{800} = \sqrt{400 \cdot 2} = 20\sqrt{2}$ см.

Таким образом, для получения балки с сечением наибольшей площади, это сечение должно быть квадратом со стороной $20\sqrt{2}$ см.

Ответ: размеры сечения балки должны быть $20\sqrt{2}$ см на $20\sqrt{2}$ см.