Номер 319, страница 159 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 6. Применения производной к исследованию функции. Глава 2. Производная и её применения - номер 319, страница 159.
№319 (с. 159)
Условие. №319 (с. 159)
скриншот условия

319. Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения бревна равен 20 см.
Решение 1. №319 (с. 159)

Решение 5. №319 (с. 159)
Пусть сечение бревна представляет собой круг с центром в начале координат. Радиус этого круга по условию равен $R = 20$ см. Тогда диаметр круга равен $D = 2R = 40$ см.
В этот круг вписан прямоугольник, который является сечением балки. Обозначим стороны этого прямоугольника как $a$ и $b$. Диагональ вписанного прямоугольника равна диаметру описанной окружности, то есть $D$.
По теореме Пифагора для прямоугольника со сторонами $a$, $b$ и диагональю $D$ имеем соотношение:
$a^2 + b^2 = D^2$
$a^2 + b^2 = 40^2 = 1600$
Площадь прямоугольного сечения балки равна $S = a \cdot b$. Нам нужно найти такие значения $a$ и $b$, при которых площадь $S$ будет максимальной.
Выразим одну из сторон, например $b$, через другую из соотношения по теореме Пифагора:
$b^2 = 1600 - a^2 \implies b = \sqrt{1600 - a^2}$ (берем положительное значение, так как $b$ - это длина стороны).
Теперь подставим это выражение в формулу площади, чтобы получить функцию площади, зависящую от одной переменной $a$:
$S(a) = a \cdot \sqrt{1600 - a^2}$
Чтобы найти максимум функции $S(a)$, можно исследовать на максимум ее квадрат, $S^2(a)$, так как $S(a) > 0$. Это упрощает вычисления, избавляя от квадратного корня.
Пусть $f(a) = S^2(a) = a^2 (1600 - a^2) = 1600a^2 - a^4$.
Для нахождения точки максимума найдем производную функции $f(a)$ и приравняем ее к нулю:
$f'(a) = (1600a^2 - a^4)' = 1600 \cdot 2a - 4a^3 = 3200a - 4a^3$
Приравняем производную к нулю:
$3200a - 4a^3 = 0$
$4a(800 - a^2) = 0$
Поскольку $a$ — это длина стороны, $a > 0$. Следовательно, мы решаем уравнение:
$800 - a^2 = 0$
$a^2 = 800$
$a = \sqrt{800} = \sqrt{400 \cdot 2} = 20\sqrt{2}$ см.
Теперь найдем размер второй стороны $b$:
$b^2 = 1600 - a^2 = 1600 - 800 = 800$
$b = \sqrt{800} = \sqrt{400 \cdot 2} = 20\sqrt{2}$ см.
Таким образом, для получения балки с сечением наибольшей площади, это сечение должно быть квадратом со стороной $20\sqrt{2}$ см.
Ответ: размеры сечения балки должны быть $20\sqrt{2}$ см на $20\sqrt{2}$ см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 319 расположенного на странице 159 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №319 (с. 159), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.