Номер 1, страница 170 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 2. Производная и её применения. Вопросы и задачи на повторение - номер 1, страница 170.

Условие.

1. 1) Что такое приращение аргумента и приращение функции?

2) В чем состоит геометрический смысл приращений $\Delta x$ и $\Delta f$? отношения $\frac{\Delta f}{\Delta x}$?

3) Выразите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ через $x_0$ и $\Delta x$:

а) $f(x) = x^2 - x;$

б) $f(x) = x^3 + 2;$

в) $f(x) = 3x - 1;$

г) $f(x) = \frac{2}{x}. $

Решение 5.

1) Приращение аргумента — это разность между новым и начальным значением независимой переменной. Если начальное значение аргумента равно $x_0$, а новое — $x_0 + \Delta x$, то приращение аргумента равно $\Delta x$.

Приращение функции — это соответствующее изменение значения функции. Оно равно разности между новым значением функции $f(x_0 + \Delta x)$ и её начальным значением $f(x_0)$. Приращение функции обозначается $\Delta f$ (или $\Delta y$) и вычисляется по формуле: $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

Ответ: Приращение аргумента $\Delta x$ — это величина, на которую изменяется аргумент. Приращение функции $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ — это соответствующее изменение значения функции.

2) Рассмотрим график функции $y = f(x)$ и две точки на нем: $A(x_0, f(x_0))$ и $B(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$.

Геометрически, приращение аргумента $\Delta x$ представляет собой длину катета, параллельного оси абсцисс (Ox), а приращение функции $\Delta f$ — длину катета, параллельного оси ординат (Oy), в прямоугольном треугольнике, гипотенузой которого является отрезок секущей $AB$.

Отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ имеет следующий геометрический смысл: оно равно тангенсу угла наклона секущей, проходящей через точки $A$ и $B$, к положительному направлению оси Ox. Это значение также называют угловым коэффициентом секущей, и оно характеризует среднюю скорость изменения функции на отрезке $[x_0, x_0 + \Delta x]$.

Ответ: $\Delta x$ и $\Delta f$ — это катеты прямоугольного треугольника, образованного секущей графика функции. Отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) этой секущей.

3) Для нахождения отношения $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ используем формулу $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.

а) Для функции $f(x) = x^2 - x$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \left((x_0 + \Delta x)^2 - (x_0 + \Delta x)\right) - (x_0^2 - x_0)$

$\Delta f = x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - x_0 - \Delta x - x_0^2 + x_0 = 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - \Delta x$

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - \Delta x}{\Delta x} = 2x_0 + \Delta x - 1$

Ответ: $2x_0 + \Delta x - 1$

б) Для функции $f(x) = x^3 + 2$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \left((x_0 + \Delta x)^3 + 2\right) - (x_0^3 + 2)$

$\Delta f = x_0^3 + 3x_0^2\Delta x + 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 + 2 - x_0^3 - 2 = 3x_0^2\Delta x + 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{3x_0^2\Delta x + 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x} = 3x_0^2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2$

Ответ: $3x_0^2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2$

в) Для функции $f(x) = 3x - 1$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (3(x_0 + \Delta x) - 1) - (3x_0 - 1)$

$\Delta f = 3x_0 + 3\Delta x - 1 - 3x_0 + 1 = 3\Delta x$

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{3\Delta x}{\Delta x} = 3$

Ответ: $3$

г) Для функции $f(x) = \frac{2}{x}$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \frac{2}{x_0 + \Delta x} - \frac{2}{x_0}$

$\Delta f = \frac{2x_0 - 2(x_0 + \Delta x)}{x_0(x_0 + \Delta x)} = \frac{2x_0 - 2x_0 - 2\Delta x}{x_0(x_0 + \Delta x)} = \frac{-2\Delta x}{x_0(x_0 + \Delta x)}$

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\frac{-2\Delta x}{x_0(x_0 + \Delta x)}}{\Delta x} = \frac{-2}{x_0(x_0 + \Delta x)}$

Ответ: $\frac{-2}{x_0(x_0 + \Delta x)}$