Страница 170 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

1. 1) Что такое приращение аргумента и приращение функции?

2) В чем состоит геометрический смысл приращений $\Delta x$ и $\Delta f$? отношения $\frac{\Delta f}{\Delta x}$?

3) Выразите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ через $x_0$ и $\Delta x$:

а) $f(x) = x^2 - x;$

б) $f(x) = x^3 + 2;$

в) $f(x) = 3x - 1;$

г) $f(x) = \frac{2}{x}. $

1) Приращение аргумента — это разность между новым и начальным значением независимой переменной. Если начальное значение аргумента равно $x_0$, а новое — $x_0 + \Delta x$, то приращение аргумента равно $\Delta x$.

Приращение функции — это соответствующее изменение значения функции. Оно равно разности между новым значением функции $f(x_0 + \Delta x)$ и её начальным значением $f(x_0)$. Приращение функции обозначается $\Delta f$ (или $\Delta y$) и вычисляется по формуле: $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

Ответ: Приращение аргумента $\Delta x$ — это величина, на которую изменяется аргумент. Приращение функции $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ — это соответствующее изменение значения функции.

2) Рассмотрим график функции $y = f(x)$ и две точки на нем: $A(x_0, f(x_0))$ и $B(x_0 + \Delta x, f(x_0 + \Delta x))$.

Геометрически, приращение аргумента $\Delta x$ представляет собой длину катета, параллельного оси абсцисс (Ox), а приращение функции $\Delta f$ — длину катета, параллельного оси ординат (Oy), в прямоугольном треугольнике, гипотенузой которого является отрезок секущей $AB$.

Отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ имеет следующий геометрический смысл: оно равно тангенсу угла наклона секущей, проходящей через точки $A$ и $B$, к положительному направлению оси Ox. Это значение также называют угловым коэффициентом секущей, и оно характеризует среднюю скорость изменения функции на отрезке $[x_0, x_0 + \Delta x]$.

Ответ: $\Delta x$ и $\Delta f$ — это катеты прямоугольного треугольника, образованного секущей графика функции. Отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) этой секущей.

3) Для нахождения отношения $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ используем формулу $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$.

а) Для функции $f(x) = x^2 - x$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \left((x_0 + \Delta x)^2 - (x_0 + \Delta x)\right) - (x_0^2 - x_0)$

$\Delta f = x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - x_0 - \Delta x - x_0^2 + x_0 = 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - \Delta x$

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - \Delta x}{\Delta x} = 2x_0 + \Delta x - 1$

Ответ: $2x_0 + \Delta x - 1$

б) Для функции $f(x) = x^3 + 2$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \left((x_0 + \Delta x)^3 + 2\right) - (x_0^3 + 2)$

$\Delta f = x_0^3 + 3x_0^2\Delta x + 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 + 2 - x_0^3 - 2 = 3x_0^2\Delta x + 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{3x_0^2\Delta x + 3x_0(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x} = 3x_0^2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2$

Ответ: $3x_0^2 + 3x_0\Delta x + (\Delta x)^2$

в) Для функции $f(x) = 3x - 1$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (3(x_0 + \Delta x) - 1) - (3x_0 - 1)$

$\Delta f = 3x_0 + 3\Delta x - 1 - 3x_0 + 1 = 3\Delta x$

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{3\Delta x}{\Delta x} = 3$

Ответ: $3$

г) Для функции $f(x) = \frac{2}{x}$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = \frac{2}{x_0 + \Delta x} - \frac{2}{x_0}$

$\Delta f = \frac{2x_0 - 2(x_0 + \Delta x)}{x_0(x_0 + \Delta x)} = \frac{2x_0 - 2x_0 - 2\Delta x}{x_0(x_0 + \Delta x)} = \frac{-2\Delta x}{x_0(x_0 + \Delta x)}$

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\frac{-2\Delta x}{x_0(x_0 + \Delta x)}}{\Delta x} = \frac{-2}{x_0(x_0 + \Delta x)}$

Ответ: $\frac{-2}{x_0(x_0 + \Delta x)}$

2. 1) Сформулируйте определение производной функции в точке.

2) Пользуясь определением, найдите производную функции $f$ в точке $x_0$:

a) $f(x) = x^2 + 1, x_0 = -2;$

б) $f(x) = \frac{2}{x}, x_0 = 3;$

в) $f(x) = 2x - 1, x_0 = -4;$

г) $f(x) = x^3, x_0 = 2.$

1)

Производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ к приращению аргумента $\Delta x$, когда приращение аргумента стремится к нулю (если этот предел существует и конечен).

Производная обозначается как $f'(x_0)$ и вычисляется по формуле:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

2)

а) Дана функция $f(x) = x^2 + 1$ и точка $x_0 = -2$.

Для нахождения производной по определению, сначала найдем приращение функции $\Delta f$.

1. Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(-2) = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$.

2. Значение функции в точке $x_0 + \Delta x$: $f(-2 + \Delta x) = (-2 + \Delta x)^2 + 1 = 4 - 4\Delta x + (\Delta x)^2 + 1 = 5 - 4\Delta x + (\Delta x)^2$.

3. Приращение функции: $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (5 - 4\Delta x + (\Delta x)^2) - 5 = -4\Delta x + (\Delta x)^2$.

Теперь найдем предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

$f'(-2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-4\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}$

Вынесем $\Delta x$ за скобки в числителе и сократим дробь:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(-4 + \Delta x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-4 + \Delta x) = -4 + 0 = -4$.

Ответ: -4

б) Дана функция $f(x) = \frac{2}{x}$ и точка $x_0 = 3$.

1. Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(3) = \frac{2}{3}$.

2. Значение функции в точке $x_0 + \Delta x$: $f(3 + \Delta x) = \frac{2}{3 + \Delta x}$.

3. Приращение функции: $\Delta f = f(3 + \Delta x) - f(3) = \frac{2}{3 + \Delta x} - \frac{2}{3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\Delta f = \frac{2 \cdot 3 - 2 \cdot (3 + \Delta x)}{3(3 + \Delta x)} = \frac{6 - 6 - 2\Delta x}{3(3 + \Delta x)} = \frac{-2\Delta x}{3(3 + \Delta x)}$.

Теперь найдем предел отношения $\frac{\Delta f}{\Delta x}$:

$f'(3) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{-2\Delta x}{3(3 + \Delta x)}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2}{3(3 + \Delta x)}$.

Подставим $\Delta x = 0$ в выражение под пределом:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-2}{3(3 + \Delta x)} = \frac{-2}{3(3 + 0)} = -\frac{2}{9}$.

Ответ: $-\frac{2}{9}$

в) Дана функция $f(x) = 2x - 1$ и точка $x_0 = -4$.

1. Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(-4) = 2(-4) - 1 = -8 - 1 = -9$.

2. Значение функции в точке $x_0 + \Delta x$: $f(-4 + \Delta x) = 2(-4 + \Delta x) - 1 = -8 + 2\Delta x - 1 = -9 + 2\Delta x$.

3. Приращение функции: $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (-9 + 2\Delta x) - (-9) = 2\Delta x$.

Найдем предел отношения:

$f'(-4) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} 2 = 2$.

Ответ: 2

г) Дана функция $f(x) = x^3$ и точка $x_0 = 2$.

1. Значение функции в точке $x_0$: $f(x_0) = f(2) = 2^3 = 8$.

2. Значение функции в точке $x_0 + \Delta x$: $f(2 + \Delta x) = (2 + \Delta x)^3$.

Используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$f(2 + \Delta x) = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot \Delta x + 3 \cdot 2 \cdot (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 = 8 + 12\Delta x + 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$.

3. Приращение функции: $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = (8 + 12\Delta x + 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) - 8 = 12\Delta x + 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$.

Найдем предел отношения:

$f'(2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{12\Delta x + 6(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x}$.

Вынесем $\Delta x$ за скобки в числителе и сократим дробь:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(12 + 6\Delta x + (\Delta x)^2)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (12 + 6\Delta x + (\Delta x)^2) = 12 + 6 \cdot 0 + 0^2 = 12$.

Ответ: 12

3. 1) Сформулируйте правила вычисления производных. Чему равна производная функции $f(x) = x^n$ ($n$ — целое число)?

Рис. 117

2) Дифференцируемая функция $f$ задана графиком (рис. 117). Постройте касательные к графику $f$ в указанных точках и найдите приближенные значения производной в точках $a, b, c, d$.

3) Продифференцируйте функцию:

а) $f(x) = (x + 2) \sin x$;

б) $f(x) = \frac{4}{(9+7x)^5}$;

в) $f(x) = x^3 - \frac{2}{x} + \cos 3x$;

г) $f(x) = \frac{x^2}{x+3}$.

1) Сформулируем основные правила вычисления производных (дифференцирования).

Пусть $u(x)$ и $v(x)$ — дифференцируемые функции, а $C$ — постоянная величина (константа).

Правило 1: Производная константы.

Производная постоянной величины равна нулю.

$ C' = 0 $

Правило 2: Правило постоянного множителя.

Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

$ (C \cdot u)' = C \cdot u' $

Правило 3: Правило суммы и разности.

Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) их производных.

$ (u \pm v)' = u' \pm v' $

Правило 4: Правило произведения.

Производная произведения двух функций вычисляется по формуле:

$ (u \cdot v)' = u'v + uv' $

Правило 5: Правило частного.

Производная частного двух функций вычисляется по формуле:

$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $

Правило 6: Производная сложной функции (цепное правило).

Если $y = f(g(x))$, то ее производная равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на производную внутренней функции по основной переменной.

$ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $

Производная функции $ f(x) = x^n $ (n — целое число).

Производная степенной функции вычисляется по формуле (степенное правило):

$ (x^n)' = n \cdot x^{n-1} $

Эта формула справедлива для любого целого числа $n$.

Ответ: Основные правила дифференцирования включают правило производной константы, постоянного множителя, суммы/разности, произведения, частного и правило для сложной функции. Производная функции $ f(x) = x^n $, где $n$ — целое число, равна $ f'(x) = nx^{n-1} $.

2) Геометрический смысл производной функции в точке заключается в том, что ее значение равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции в этой точке. Для нахождения приближенного значения производной построим касательную в указанной точке и найдем ее угловой коэффициент $k$ по формуле $ k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $, выбрав две удобные точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ на касательной.

На рисунке 117 представлены два графика. Проведем анализ для каждого из них.

Для левого графика:

В точке a (где $ x = -3 $): Проведем касательную. Она проходит примерно через точки $(-4, 0)$ и $(-2, 4)$. Тогда угловой коэффициент $k_a \approx \frac{4 - 0}{-2 - (-4)} = \frac{4}{2} = 2$. Таким образом, $ f'(a) \approx 2 $.

В точке b (где $ x \approx -1.5 $): Это точка локального максимума. Касательная к графику в этой точке горизонтальна, ее угловой коэффициент равен нулю. Таким образом, $ f'(b) = 0 $.

В точке c (где $ x = 1 $): Это точка локального минимума. Касательная к графику в этой точке также горизонтальна. Таким образом, $ f'(c) = 0 $.

В точке d (где $ x = 2 $): Проведем касательную. Она проходит примерно через точки $(1, 1)$ и $(3, 5)$. Тогда угловой коэффициент $k_d \approx \frac{5 - 1}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$. Таким образом, $ f'(d) \approx 2 $.

Для правого графика:

В точке a (где $ x = -3 $): Проведем касательную. Она проходит примерно через точки $(-4, 0.5)$ и $(-2, 2.5)$. Тогда угловой коэффициент $k_a \approx \frac{2.5 - 0.5}{-2 - (-4)} = \frac{2}{2} = 1$. Таким образом, $ f'(a) \approx 1 $.

В точке b (где $ x \approx -1.5 $): Проведем касательную. Она проходит примерно через точки $(-2.5, 2.5)$ и $(-0.5, 4)$. Тогда угловой коэффициент $k_b \approx \frac{4 - 2.5}{-0.5 - (-2.5)} = \frac{1.5}{2} = 0.75$. Таким образом, $ f'(b) \approx 0.75 $.

В точке c (где $ x \approx 1 $): Это точка максимума. Касательная к графику в этой точке горизонтальна. Таким образом, $ f'(c) = 0 $.

В точке d (где $ x = 3 $): Проведем касательную. Она проходит примерно через точки $(2, 4)$ и $(4, 1)$. Тогда угловой коэффициент $k_d \approx \frac{1 - 4}{4 - 2} = \frac{-3}{2} = -1.5$. Таким образом, $ f'(d) \approx -1.5 $.

Ответ: Для левого графика: $f'(a) \approx 2$, $f'(b) = 0$, $f'(c) = 0$, $f'(d) \approx 2$. Для правого графика: $f'(a) \approx 1$, $f'(b) \approx 0.75$, $f'(c) = 0$, $f'(d) \approx -1.5$.

3)

а) $ f(x) = (x + 2) \sin x $

Используем правило производной произведения $ (uv)' = u'v + uv' $, где $ u = x + 2 $ и $ v = \sin x $.

Находим производные $ u' = (x + 2)' = 1 $ и $ v' = (\sin x)' = \cos x $.

Подставляем в формулу: $ f'(x) = 1 \cdot \sin x + (x + 2) \cdot \cos x = \sin x + (x + 2)\cos x $.

Ответ: $ f'(x) = \sin x + (x + 2)\cos x $.

б) $ f(x) = \frac{4}{(9 + 7x)^5} $

Перепишем функцию в виде $ f(x) = 4(9 + 7x)^{-5} $. Используем правило для сложной функции и степенное правило.

$ f'(x) = 4 \cdot (-5)(9 + 7x)^{-5-1} \cdot (9 + 7x)' $.

Находим производную внутренней функции: $ (9 + 7x)' = 7 $.

Подставляем и упрощаем: $ f'(x) = -20(9 + 7x)^{-6} \cdot 7 = -140(9 + 7x)^{-6} = -\frac{140}{(9 + 7x)^6} $.

Ответ: $ f'(x) = -\frac{140}{(9 + 7x)^6} $.

в) $ f(x) = x^3 - \frac{2}{x} + \cos 3x $

Используем правило суммы/разности производных. Перепишем функцию: $ f(x) = x^3 - 2x^{-1} + \cos 3x $.

$ f'(x) = (x^3)' - (2x^{-1})' + (\cos 3x)' $.

$ (x^3)' = 3x^2 $.

$ (2x^{-1})' = 2 \cdot (-1)x^{-2} = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2} $.

$ (\cos 3x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -\sin(3x) \cdot 3 = -3\sin 3x $ (по правилу для сложной функции).

Собираем все вместе: $ f'(x) = 3x^2 - \left(-\frac{2}{x^2}\right) - 3\sin 3x = 3x^2 + \frac{2}{x^2} - 3\sin 3x $.

Ответ: $ f'(x) = 3x^2 + \frac{2}{x^2} - 3\sin 3x $.

г) $ f(x) = \frac{x^2}{x + 3} $

Используем правило производной частного $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $, где $ u = x^2 $ и $ v = x + 3 $.

Находим производные $ u' = (x^2)' = 2x $ и $ v' = (x + 3)' = 1 $.

Подставляем в формулу: $ f'(x) = \frac{2x \cdot (x + 3) - x^2 \cdot 1}{(x + 3)^2} $.

Упрощаем числитель: $ f'(x) = \frac{2x^2 + 6x - x^2}{(x + 3)^2} = \frac{x^2 + 6x}{(x + 3)^2} $.

Ответ: $ f'(x) = \frac{x^2 + 6x}{(x + 3)^2} $.