Страница 175 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

326.— Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на указанном промежутке:

a) $F(x) = x^5$, $f(x) = 5x^4$, $x \in (-\infty; \infty);$

б) $F(x) = x^{-3}$, $f(x) = -3x^{-4}$, $x \in (0; \infty);$

в) $F(x) = \frac{1}{7}x^7$, $f(x) = x^6$, $x \in (-\infty; \infty);$

г) $F(x) = -\frac{1}{6}x^{-6}$, $f(x) = x^{-7}$, $x \in (0; \infty).$

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Чтобы это доказать, для каждого пункта найдем производную функции $F(x)$ и убедимся, что она равна $f(x)$ на указанном промежутке.

Дано: $F(x) = x^5$, $f(x) = 5x^4$ на промежутке $x \in (-\infty; \infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:

$F'(x) = (x^5)' = 5 \cdot x^{5-1} = 5x^4$.

Сравним полученную производную с функцией $f(x)$. На всем промежутке $(-\infty; \infty)$ выполняется равенство:

$F'(x) = 5x^4 = f(x)$.

Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

Ответ: Доказано.

Дано: $F(x) = x^{-3}$, $f(x) = -3x^{-4}$ на промежутке $x \in (0; \infty)$.

Функция $F(x) = x^{-3}$ дифференцируема на промежутке $(0; \infty)$. Найдем ее производную:

$F'(x) = (x^{-3})' = -3 \cdot x^{-3-1} = -3x^{-4}$.

Сравним полученную производную с функцией $f(x)$. На всем промежутке $(0; \infty)$ выполняется равенство:

$F'(x) = -3x^{-4} = f(x)$.

Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

Ответ: Доказано.

Дано: $F(x) = \frac{1}{7}x^7$, $f(x) = x^6$ на промежутке $x \in (-\infty; \infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\frac{1}{7}x^7)' = \frac{1}{7} \cdot (x^7)' = \frac{1}{7} \cdot 7x^{7-1} = x^6$.

Сравним полученную производную с функцией $f(x)$. На всем промежутке $(-\infty; \infty)$ выполняется равенство:

$F'(x) = x^6 = f(x)$.

Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

Ответ: Доказано.

Дано: $F(x) = -\frac{1}{6}x^{-6}$, $f(x) = x^{-7}$ на промежутке $x \in (0; \infty)$.

Функция $F(x) = -\frac{1}{6}x^{-6}$ дифференцируема на промежутке $(0; \infty)$. Найдем ее производную:

$F'(x) = (-\frac{1}{6}x^{-6})' = -\frac{1}{6} \cdot (x^{-6})' = -\frac{1}{6} \cdot (-6)x^{-6-1} = 1 \cdot x^{-7} = x^{-7}$.

Сравним полученную производную с функцией $f(x)$. На всем промежутке $(0; \infty)$ выполняется равенство:

$F'(x) = x^{-7} = f(x)$.

Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

Ответ: Доказано.

327.- Является ли функция $F$ первообразной для функции $f$ на указанном промежутке:

a) $F(x) = 3 - \sin x, f(x) = \cos x, x \in (-\infty; \infty);$

б) $F(x) = 5 - x^4, f(x) = -4x^3, x \in (-\infty; \infty);$

в) $F(x) = \cos x - 4, f(x) = -\sin x, x \in (-\infty; \infty);$

г) $F(x) = x^{-2} + 2, f(x) = \frac{1}{2x^3}, x \in (0; \infty)?$

Для того чтобы определить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на указанном промежутке, необходимо выполнить два условия:
1. Функция $F(x)$ должна быть дифференцируема на этом промежутке.
2. Производная функции $F(x)$ должна быть равна функции $f(x)$ для всех $x$ из этого промежутка, то есть $F'(x) = f(x)$.

а) $F(x) = 3 - \sin x$, $f(x) = \cos x$, $x \in (-\infty; \infty)$

Найдем производную функции $F(x)$. Функция $F(x)$ дифференцируема на всей числовой прямой.
$F'(x) = (3 - \sin x)' = (3)' - (\sin x)' = 0 - \cos x = -\cos x$.
Теперь сравним полученную производную $F'(x) = -\cos x$ с функцией $f(x) = \cos x$.
Равенство $F'(x) = f(x)$, то есть $-\cos x = \cos x$, не является тождеством для всех $x \in (-\infty; \infty)$. Оно выполняется только при $\cos x = 0$, например, при $x = \frac{\pi}{2}$. Следовательно, функция $F(x)$ не является первообразной для функции $f(x)$ на данном промежутке.
Ответ: нет.

б) $F(x) = 5 - x^4$, $f(x) = -4x^3$, $x \in (-\infty; \infty)$

Найдем производную функции $F(x)$. Функция $F(x)$ дифференцируема на всей числовой прямой.
$F'(x) = (5 - x^4)' = (5)' - (x^4)' = 0 - 4x^3 = -4x^3$.
Сравним производную $F'(x) = -4x^3$ с функцией $f(x) = -4x^3$.
Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in (-\infty; \infty)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на данном промежутке.
Ответ: да.

в) $F(x) = \cos x - 4$, $f(x) = -\sin x$, $x \in (-\infty; \infty)$

Найдем производную функции $F(x)$. Функция $F(x)$ дифференцируема на всей числовой прямой.
$F'(x) = (\cos x - 4)' = (\cos x)' - (4)' = -\sin x - 0 = -\sin x$.
Сравним производную $F'(x) = -\sin x$ с функцией $f(x) = -\sin x$.
Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in (-\infty; \infty)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на данном промежутке.
Ответ: да.

г) $F(x) = x^{-2} + 2$, $f(x) = \frac{1}{2x^3}$, $x \in (0; \infty)$

Найдем производную функции $F(x)$. Функция $F(x)$ дифференцируема на промежутке $(0; \infty)$.
$F'(x) = (x^{-2} + 2)' = (x^{-2})' + (2)' = -2x^{-2-1} + 0 = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.
Теперь сравним полученную производную $F'(x) = -\frac{2}{x^3}$ с функцией $f(x) = \frac{1}{2x^3}$.
Равенство $-\frac{2}{x^3} = \frac{1}{2x^3}$ не выполняется ни при каких $x$ из промежутка $(0; \infty)$. Следовательно, функция $F(x)$ не является первообразной для функции $f(x)$ на данном промежутке.
Ответ: нет.