Страница 176 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Найдите одну из первообразных для функции $f$ на $R$

(328–329).

328. а) $f(x) = 3,5;$

б) $f(x) = \cos x;$

в) $f(x) = 2x;$

г) $f(x) = \sin x.$

а) Для того чтобы найти первообразную для функции $f(x) = 3,5$, необходимо найти такую функцию $F(x)$, производная которой $F'(x)$ равна $f(x)$. Общий вид первообразной для постоянной функции $f(x) = k$ является $F(x) = kx + C$, где $C$ - произвольная постоянная. В нашем случае $k = 3,5$. Таким образом, общий вид первообразной: $F(x) = 3,5x + C$. Поскольку в задаче требуется найти одну из первообразных, мы можем выбрать любое значение для константы $C$. Самый простой выбор — $C=0$. Тогда одна из первообразных будет $F(x) = 3,5x$.
Проверка: $F'(x) = (3,5x)' = 3,5 = f(x)$.
Ответ: $F(x) = 3,5x$.

б) Дана функция $f(x) = \cos x$. Нам нужно найти функцию $F(x)$, такую что $F'(x) = \cos x$. Из таблицы производных тригонометрических функций известно, что производная от синуса равна косинусу: $(\sin x)' = \cos x$. Следовательно, все первообразные для $f(x) = \cos x$ имеют вид $F(x) = \sin x + C$. Для нахождения одной первообразной положим константу $C=0$. Получаем $F(x) = \sin x$.
Проверка: $F'(x) = (\sin x)' = \cos x = f(x)$.
Ответ: $F(x) = \sin x$.

в) Дана функция $f(x) = 2x$. Для нахождения первообразной используем правило для степенной функции: первообразная для $x^n$ равна $\frac{x^{n+1}}{n+1}$. В нашем случае $f(x) = 2x^1$. Тогда общий вид первообразной: $F(x) = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C$. Выберем одну первообразную, положив $C=0$. Получаем $F(x) = x^2$.
Проверка: $F'(x) = (x^2)' = 2x = f(x)$.
Ответ: $F(x) = x^2$.

г) Дана функция $f(x) = \sin x$. Нам нужно найти функцию $F(x)$, такую что $F'(x) = \sin x$. Известно, что $(\cos x)' = -\sin x$. Чтобы производная была равна $\sin x$, исходная функция должна быть $-\cos x$, так как $(-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$. Таким образом, все первообразные для $f(x) = \sin x$ имеют вид $F(x) = -\cos x + C$. Для нахождения одной первообразной положим $C=0$. Получаем $F(x) = -\cos x$.
Проверка: $F'(x) = (-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x = f(x)$.
Ответ: $F(x) = -\cos x$.

329. а) $f(x) = -\sin x;$

б) $f(x) = -x;$

в) $f(x) = -4;$

г) $f(x) = -\cos x.$

Задача состоит в нахождении общего вида первообразных для каждой из заданных функций. Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Общий вид первообразных записывается как $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

а) $f(x) = -\sin x$

Для нахождения первообразной функции $f(x) = -\sin x$ нужно найти функцию $F(x)$, производная которой равна $-\sin x$. Из таблицы производных известно, что производная функции $\cos x$ равна $-\sin x$.

$(\cos x)' = -\sin x$.

Следовательно, первообразной для $f(x) = -\sin x$ является функция $F(x) = \cos x$. Общий вид всех первообразных для данной функции будет:

$F(x) = \cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \cos x + C$.

б) $f(x) = -x$

Для нахождения первообразной функции $f(x) = -x$ воспользуемся правилом нахождения первообразной для степенной функции $x^n$. Формула имеет вид: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае $f(x) = -x^1$. Применяя формулу, получаем:

$F(x) = \int (-x) dx = - \int x^1 dx = - \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = -\frac{x^2}{2} + C$.

Для проверки можно найти производную полученной функции: $(-\frac{x^2}{2} + C)' = -\frac{1}{2} \cdot (x^2)' + (C)' = -\frac{1}{2} \cdot 2x + 0 = -x$. Производная совпадает с исходной функцией.

Ответ: $F(x) = -\frac{x^2}{2} + C$.

в) $f(x) = -4$

Для нахождения первообразной постоянной функции $f(x) = k$ используется правило $\int k dx = kx + C$.

В нашем случае $k = -4$. Таким образом, первообразная для $f(x) = -4$ имеет вид:

$F(x) = \int (-4) dx = -4x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Проверка: $(-4x + C)' = -4 \cdot (x)' + (C)' = -4 \cdot 1 + 0 = -4$. Производная совпадает с исходной функцией.

Ответ: $F(x) = -4x + C$.

г) $f(x) = -\cos x$

Для нахождения первообразной функции $f(x) = -\cos x$ нужно найти функцию $F(x)$, производная которой равна $-\cos x$. Из таблицы производных известно, что $(\sin x)' = \cos x$.

Чтобы получить в производной $-\cos x$, нужно взять функцию $-\sin x$:

$(-\sin x)' = -(\sin x)' = -\cos x$.

Следовательно, первообразной для $f(x) = -\cos x$ является функция $F(x) = -\sin x$. Общий вид всех первообразных для данной функции будет:

$F(x) = -\sin x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = -\sin x + C$.

330.— Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на указанном промежутке:

а) $F(x) = \sin^2 x$, $f(x) = \sin 2x$, $x \in R$;

б) $F(x) = \frac{1}{2} \cos 2x$, $f(x) = -\sin 2x$, $x \in R$;

в) $F(x) = \sin 3x$, $f(x) = 3 \cos 3x$, $x \in R$;

г) $F(x) = 3 + \operatorname{tg} \frac{x}{2}$, $f(x) = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}}$, $x \in (-\pi; \pi)$.

а) Чтобы доказать, что функция $F(x) = \sin^2 x$ является первообразной для функции $f(x) = \sin 2x$ на промежутке $x \in \mathbb{R}$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и показать, что она равна $f(x)$.
Найдем производную $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции (производная степенной функции и производная синуса):
$F'(x) = (\sin^2 x)' = 2 \sin^{2-1} x \cdot (\sin x)' = 2 \sin x \cdot \cos x$.
Согласно тригонометрической формуле синуса двойного угла, $2 \sin x \cos x = \sin 2x$.
Таким образом, мы получили, что $F'(x) = \sin 2x$.
Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то функция $F(x)$ действительно является первообразной для функции $f(x)$ на указанном промежутке.
Ответ: Так как $F'(x) = (\sin^2 x)' = 2 \sin x \cos x = \sin 2x = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на $\mathbb{R}$.

б) Чтобы доказать, что функция $F(x) = \frac{1}{2} \cos 2x$ является первообразной для функции $f(x) = -\sin 2x$ на промежутке $x \in \mathbb{R}$, найдем производную функции $F(x)$.
Используем правило дифференцирования сложной функции (производная косинуса и линейной функции):
$F'(x) = (\frac{1}{2} \cos 2x)' = \frac{1}{2} \cdot (-\sin 2x) \cdot (2x)' = \frac{1}{2} \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 = -\sin 2x$.
Таким образом, мы получили, что $F'(x) = -\sin 2x$.
Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на указанном промежутке.
Ответ: Так как $F'(x) = (\frac{1}{2} \cos 2x)' = -\sin 2x = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на $\mathbb{R}$.

в) Чтобы доказать, что функция $F(x) = \sin 3x$ является первообразной для функции $f(x) = 3 \cos 3x$ на промежутке $x \in \mathbb{R}$, найдем производную функции $F(x)$.
Используем правило дифференцирования сложной функции (производная синуса и линейной функции):
$F'(x) = (\sin 3x)' = \cos 3x \cdot (3x)' = \cos 3x \cdot 3 = 3 \cos 3x$.
Таким образом, мы получили, что $F'(x) = 3 \cos 3x$.
Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на указанном промежутке.
Ответ: Так как $F'(x) = (\sin 3x)' = 3 \cos 3x = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на $\mathbb{R}$.

г) Чтобы доказать, что функция $F(x) = 3 + \tg \frac{x}{2}$ является первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}}$ на промежутке $x \in (-\pi; \pi)$, найдем производную функции $F(x)$.
Производная суммы равна сумме производных. Производная константы 3 равна нулю. Найдем производную второго слагаемого, используя правило дифференцирования сложной функции (производная тангенса и линейной функции):
$F'(x) = (3 + \tg \frac{x}{2})' = (3)' + (\tg \frac{x}{2})' = 0 + \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot (\frac{x}{2})' = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}}$.
Таким образом, мы получили, что $F'(x) = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}}$.
Функция $F(x)$ и ее производная $F'(x)$ определены на всем промежутке $(-\pi; \pi)$, так как на этом промежутке знаменатель $\cos^2 \frac{x}{2}$ не обращается в ноль.
Поскольку $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in (-\pi; \pi)$, то функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на указанном промежутке.
Ответ: Так как $F'(x) = (3 + \tg \frac{x}{2})' = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на $(-\pi; \pi)$.

331.— Является ли функция F первообразной для функции f на указанном промежутке:

а) $F(x) = 2x + \cos \frac{x}{2}$, $f(x) = 2 - \frac{1}{2} \sin \frac{x}{2}$, $x \in \mathbb{R}$;

б) $F(x) = \sqrt{4 - x^2}$, $f(x) = -\frac{x}{\sqrt{4 - x^2}}$, $x \in (-2; 2)$;

в) $F(x) = \frac{1}{x^2}$, $f(x) = 14 - \frac{1}{x^2}$, $x \in (0; \infty)$;

г) $F(x) = 4x\sqrt{x}$, $f(x) = 6\sqrt{x}$, $x \in (0; \infty)?$

Функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, если на этом промежутке для всех $x$ выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Проверим это условие для каждого случая.

а) $F(x) = 2x + \cos\frac{x}{2}$, $f(x) = 2 - \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}$, $x \in \mathbb{R}$

Найдём производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (2x + \cos\frac{x}{2})' = (2x)' + (\cos\frac{x}{2})' = 2 - \sin\frac{x}{2} \cdot (\frac{x}{2})' = 2 - \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}$.

Сравнивая производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$ на всём промежутке $\mathbb{R}$.

Ответ: да, является.

б) $F(x) = \sqrt{4-x^2}$, $f(x) = -\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$, $x \in (-2; 2)$

Найдём производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = (\sqrt{4-x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{4-x^2}} \cdot (4-x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{4-x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}$.

Сравнивая производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$ на промежутке $(-2; 2)$.

Ответ: да, является.

в) $F(x) = \frac{1}{x^2}$, $f(x) = 14 - \frac{1}{x^2}$, $x \in (0; \infty)$

Найдём производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\frac{1}{x^2})' = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

Сравнивая производную $F'(x) = -\frac{2}{x^3}$ с функцией $f(x) = 14 - \frac{1}{x^2}$, видим, что $F'(x) \neq f(x)$.

Ответ: нет, не является.

г) $F(x) = 4x\sqrt{x}$, $f(x) = 6\sqrt{x}$, $x \in (0; \infty)$

Представим функцию $F(x)$ в виде степенной функции: $F(x) = 4x \cdot x^{1/2} = 4x^{3/2}$.

Найдём производную этой функции:

$F'(x) = (4x^{3/2})' = 4 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = 6x^{1/2} = 6\sqrt{x}$.

Сравнивая производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$ на промежутке $(0; \infty)$.

Ответ: да, является.

332. – Найдите одну из первообразных для функции f на R:

а) $f(x) = x + 2$;

б) $f(x) = \left(\sin\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2}\right)^2$;

в) $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$;

г) $f(x) = 3x^2 + 1$.

а)

Чтобы найти одну из первообразных для функции $f(x) = x + 2$, необходимо найти функцию $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. Это эквивалентно нахождению неопределенного интеграла от функции $f(x)$.

Используем свойство аддитивности интеграла и табличные интегралы для степенной функции и константы:

$F(x) = \int (x + 2)dx = \int xdx + \int 2dx$.

Интеграл от $x$ (степень $n=1$) равен $\frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$.

Интеграл от константы 2 равен $2x$.

Объединяя результаты, получаем общее выражение для первообразных: $F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + C$, где $C$ — произвольная константа.

Поскольку в задаче требуется найти одну из первообразных, мы можем выбрать любое значение для $C$. Самый простой вариант — положить $C=0$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + 2x$.

б)

Дана функция $f(x) = \left(\sin\frac{x}{2} - \cos\frac{x}{2}\right)^2$.

Для упрощения нахождения первообразной сначала преобразуем данное выражение. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$f(x) = \sin^2\frac{x}{2} - 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}$.

Теперь воспользуемся двумя основными тригонометрическими формулами:

1. Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

2. Формула синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Сгруппируем слагаемые в нашем выражении: $f(x) = \left(\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}\right) - 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$.

Выражение в скобках равно 1. Второе слагаемое, согласно формуле синуса двойного угла (при $\alpha = \frac{x}{2}$), равно $\sin\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right) = \sin x$.

Таким образом, функция упрощается до вида: $f(x) = 1 - \sin x$.

Теперь найдем первообразную для этой функции:

$F(x) = \int (1 - \sin x)dx = \int 1dx - \int \sin xdx$.

Первообразная для 1 равна $x$. Первообразная для $\sin x$ равна $-\cos x$.

$F(x) = x - (-\cos x) + C = x + \cos x + C$.

Выбрав $C=0$, получаем одну из первообразных.

Ответ: $F(x) = x + \cos x$.

в)

Дана функция $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, выражение $\sin^2 x + \cos^2 x$ равно 1 для любого действительного значения $x$.

Следовательно, наша функция представляет собой константу: $f(x) = 1$.

Первообразная для функции $f(x) = 1$ находится как интеграл от константы:

$F(x) = \int 1dx = x + C$.

Полагая константу $C$ равной нулю, получаем одну из первообразных.

Ответ: $F(x) = x$.

г)

Дана функция $f(x) = 3x^2 + 1$.

Для нахождения первообразной проинтегрируем функцию $f(x)$:

$F(x) = \int (3x^2 + 1)dx = \int 3x^2dx + \int 1dx$.

Используем формулу для степенной функции $\int ax^n dx = a\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Для слагаемого $3x^2$ имеем $a=3, n=2$: $\int 3x^2dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.

Для слагаемого 1 имеем: $\int 1dx = x$.

Суммируя результаты, получаем: $F(x) = x^3 + x + C$.

Возьмем $C=0$, чтобы найти одну конкретную первообразную.

Ответ: $F(x) = x^3 + x$.

333. Найдите две первообразные для функции f:

a) $f(x) = 2x$;

б) $f(x) = 1 - \sin x$;

В) $f(x) = x^2$;

г) $f(x) = \cos x + 2$.

а) Первообразная для функции $f(x)$ — это такая функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Все первообразные для $f(x)$ можно записать в виде $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Для функции $f(x) = 2x$, воспользуемся правилом нахождения первообразной для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
Общий вид первообразной для $f(x) = 2x$ равен:
$F(x) = \int 2x \,dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C$.
Чтобы найти две первообразные, нужно выбрать два произвольных значения для константы $C$. Возьмем $C=0$ и $C=5$.
Первая первообразная: $F_1(x) = x^2$.
Вторая первообразная: $F_2(x) = x^2 + 5$.
Ответ: $F_1(x) = x^2$ и $F_2(x) = x^2 + 5$.

б) Для функции $f(x) = 1 - \sin x$ находим первообразную для каждого слагаемого.
$F(x) = \int (1 - \sin x) \,dx = \int 1 \,dx - \int \sin x \,dx$.
Первообразная для 1 это $x$.
Первообразная для $\sin x$ это $-\cos x$.
Тогда общий вид первообразной:
$F(x) = x - (-\cos x) + C = x + \cos x + C$.
Выберем два произвольных значения для константы $C$, например, $C=1$ и $C=-2$.
Первая первообразная: $F_1(x) = x + \cos x + 1$.
Вторая первообразная: $F_2(x) = x + \cos x - 2$.
Ответ: $F_1(x) = x + \cos x + 1$ и $F_2(x) = x + \cos x - 2$.

в) Для функции $f(x) = x^2$ снова используем правило для степенной функции.
Общий вид первообразной для $f(x) = x^2$ равен:
$F(x) = \int x^2 \,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C$.
Выберем два произвольных значения для константы $C$, например, $C=0$ и $C=10$.
Первая первообразная: $F_1(x) = \frac{x^3}{3}$.
Вторая первообразная: $F_2(x) = \frac{x^3}{3} + 10$.
Ответ: $F_1(x) = \frac{x^3}{3}$ и $F_2(x) = \frac{x^3}{3} + 10$.

г) Для функции $f(x) = \cos x + 2$ находим первообразную для каждого слагаемого.
$F(x) = \int (\cos x + 2) \,dx = \int \cos x \,dx + \int 2 \,dx$.
Первообразная для $\cos x$ это $\sin x$.
Первообразная для 2 это $2x$.
Тогда общий вид первообразной:
$F(x) = \sin x + 2x + C$.
Выберем два произвольных значения для константы $C$, например, $C=-3$ и $C=7$.
Первая первообразная: $F_1(x) = \sin x + 2x - 3$.
Вторая первообразная: $F_2(x) = \sin x + 2x + 7$.
Ответ: $F_1(x) = \sin x + 2x - 3$ и $F_2(x) = \sin x + 2x + 7$.

334. Среди трех данных функций укажите такую, что две другие являются соответственно производной и первообразной для нее:

a) $f (x) = \frac{1}{x^2}$, $g (x) = -\frac{1}{x}$, $h (x) = -\frac{2}{x^3}$;

б) $f (x) = \frac{x^2}{2} - \cos x$, $g (x) = 1 + \cos x$, $h (x) = x + \sin x$;

в) $f (x) = 1$, $g (x) = x + 2$, $h (x) = \frac{x^2}{2} + 2x$;

г) $f (x) = 3 - 2 \sin x$, $g (x) = 3x + 2 \cos x$, $h (x) = -2 \cos x$.

а)

Даны функции $f(x) = \frac{1}{x^2}$, $g(x) = -\frac{1}{x}$, $h(x) = -\frac{2}{x^3}$.
Проверим, может ли функция $f(x)$ быть искомой. Для этого найдем ее производную и одну из ее первообразных.
Производная функции $f(x)$:
$f'(x) = \left(\frac{1}{x^2}\right)' = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.
Полученное выражение совпадает с функцией $h(x)$.
Первообразная для функции $f(x)$:
$\int f(x) \,dx = \int \frac{1}{x^2} \,dx = \int x^{-2} \,dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$.
При $C=0$ первообразная совпадает с функцией $g(x)$.
Таким образом, для функции $f(x)$ две другие функции, $h(x)$ и $g(x)$, являются соответственно ее производной и первообразной.
Ответ: $f(x) = \frac{1}{x^2}$.

б)

Даны функции $f(x) = \frac{x^2}{2} - \cos x$, $g(x) = 1 + \cos x$, $h(x) = x + \sin x$.
Проверим, может ли функция $h(x)$ быть искомой. Найдем ее производную и одну из ее первообразных.
Производная функции $h(x)$:
$h'(x) = (x + \sin x)' = 1 + \cos x$.
Полученное выражение совпадает с функцией $g(x)$.
Первообразная для функции $h(x)$:
$\int h(x) \,dx = \int (x + \sin x) \,dx = \frac{x^2}{2} - \cos x + C$.
При $C=0$ первообразная совпадает с функцией $f(x)$.
Таким образом, для функции $h(x)$ две другие функции, $g(x)$ и $f(x)$, являются соответственно ее производной и первообразной.
Ответ: $h(x) = x + \sin x$.

в)

Даны функции $f(x) = 1$, $g(x) = x + 2$, $h(x) = \frac{x^2}{2} + 2x$.
Проверим, может ли функция $g(x)$ быть искомой. Найдем ее производную и одну из ее первообразных.
Производная функции $g(x)$:
$g'(x) = (x + 2)' = 1$.
Полученное выражение совпадает с функцией $f(x)$.
Первообразная для функции $g(x)$:
$\int g(x) \,dx = \int (x + 2) \,dx = \frac{x^2}{2} + 2x + C$.
При $C=0$ первообразная совпадает с функцией $h(x)$.
Таким образом, для функции $g(x)$ две другие функции, $f(x)$ и $h(x)$, являются соответственно ее производной и первообразной.
Ответ: $g(x) = x + 2$.

г)

Даны функции $f(x) = 3 - 2 \sin x$, $g(x) = 3x + 2 \cos x$, $h(x) = -2 \cos x$.
Проверим, может ли функция $f(x)$ быть искомой. Найдем ее производную и одну из ее первообразных.
Производная функции $f(x)$:
$f'(x) = (3 - 2 \sin x)' = 0 - 2 \cos x = -2 \cos x$.
Полученное выражение совпадает с функцией $h(x)$.
Первообразная для функции $f(x)$:
$\int f(x) \,dx = \int (3 - 2 \sin x) \,dx = 3x - 2(-\cos x) + C = 3x + 2 \cos x + C$.
При $C=0$ первообразная совпадает с функцией $g(x)$.
Таким образом, для функции $f(x)$ две другие функции, $h(x)$ и $g(x)$, являются соответственно ее производной и первообразной.
Ответ: $f(x) = 3 - 2 \sin x$.