Номер 329, страница 176 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 329, страница 176.

Условие.

329. а) $f(x) = -\sin x;$

б) $f(x) = -x;$

в) $f(x) = -4;$

г) $f(x) = -\cos x.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Задача состоит в нахождении общего вида первообразных для каждой из заданных функций. Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Общий вид первообразных записывается как $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

а) $f(x) = -\sin x$

Для нахождения первообразной функции $f(x) = -\sin x$ нужно найти функцию $F(x)$, производная которой равна $-\sin x$. Из таблицы производных известно, что производная функции $\cos x$ равна $-\sin x$.

$(\cos x)' = -\sin x$.

Следовательно, первообразной для $f(x) = -\sin x$ является функция $F(x) = \cos x$. Общий вид всех первообразных для данной функции будет:

$F(x) = \cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \cos x + C$.

б) $f(x) = -x$

Для нахождения первообразной функции $f(x) = -x$ воспользуемся правилом нахождения первообразной для степенной функции $x^n$. Формула имеет вид: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае $f(x) = -x^1$. Применяя формулу, получаем:

$F(x) = \int (-x) dx = - \int x^1 dx = - \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = -\frac{x^2}{2} + C$.

Для проверки можно найти производную полученной функции: $(-\frac{x^2}{2} + C)' = -\frac{1}{2} \cdot (x^2)' + (C)' = -\frac{1}{2} \cdot 2x + 0 = -x$. Производная совпадает с исходной функцией.

Ответ: $F(x) = -\frac{x^2}{2} + C$.

в) $f(x) = -4$

Для нахождения первообразной постоянной функции $f(x) = k$ используется правило $\int k dx = kx + C$.

В нашем случае $k = -4$. Таким образом, первообразная для $f(x) = -4$ имеет вид:

$F(x) = \int (-4) dx = -4x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Проверка: $(-4x + C)' = -4 \cdot (x)' + (C)' = -4 \cdot 1 + 0 = -4$. Производная совпадает с исходной функцией.

Ответ: $F(x) = -4x + C$.

г) $f(x) = -\cos x$

Для нахождения первообразной функции $f(x) = -\cos x$ нужно найти функцию $F(x)$, производная которой равна $-\cos x$. Из таблицы производных известно, что $(\sin x)' = \cos x$.

Чтобы получить в производной $-\cos x$, нужно взять функцию $-\sin x$:

$(-\sin x)' = -(\sin x)' = -\cos x$.

Следовательно, первообразной для $f(x) = -\cos x$ является функция $F(x) = -\sin x$. Общий вид всех первообразных для данной функции будет:

$F(x) = -\sin x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = -\sin x + C$.