Номер 336, страница 180 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 336, страница 180.

Условие.

336. a) $f(x) = x^6$;

б) $f(x) = \frac{1}{x^3} - 2$;

в) $f(x) = 1 - \frac{1}{x^4}$;

г) $f(x) = x^5$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для нахождения производной функции $f(x) = x^6$ используется правило дифференцирования степенной функции, которое гласит: $(x^n)' = nx^{n-1}$.

В данном случае, показатель степени $n=6$. Подставляем это значение в формулу:

$f'(x) = (x^6)' = 6 \cdot x^{6-1} = 6x^5$.

Ответ: $f'(x) = 6x^5$.

б) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^3} - 2$. Для удобства дифференцирования представим её в виде степенной функции: $f(x) = x^{-3} - 2$.

Производная функции находится как разность производных её слагаемых. Производная константы ($-2$) равна нулю. Для $x^{-3}$ применяем то же правило степенной функции с $n=-3$:

$f'(x) = (x^{-3} - 2)' = (x^{-3})' - (2)' = -3 \cdot x^{-3-1} - 0 = -3x^{-4}$.

Запишем результат с положительным показателем степени:

$f'(x) = -\frac{3}{x^4}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{3}{x^4}$.

в) Дана функция $f(x) = 1 - \frac{1}{x^4}$. Перепишем её в виде $f(x) = 1 - x^{-4}$.

Находим производную как разность производных. Производная константы ($1$) равна нулю. Для $-x^{-4}$ применяем правило степенной функции, где $n=-4$:

$f'(x) = (1 - x^{-4})' = (1)' - (x^{-4})' = 0 - (-4 \cdot x^{-4-1}) = 4x^{-5}$.

Запишем результат с положительным показателем степени:

$f'(x) = \frac{4}{x^5}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{4}{x^5}$.

г) Для функции $f(x) = x^5$ применяем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ с показателем степени $n=5$.

Вычисляем производную:

$f'(x) = (x^5)' = 5 \cdot x^{5-1} = 5x^4$.

Ответ: $f'(x) = 5x^4$.