Номер 340, страница 181 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 340, страница 181.

Условие.

340.— Для функции $f$ найдите две первообразные, расстояние между соответствующими точками графиков которых (т. е. точками с равными абсциссами) равно $a$:

а) $f(x) = 2 - \sin x, a = 4;$

б) $f(x) = 1 + \operatorname{tg}^2 x, a = 1;$

в) $f(x) = \sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2}, a = 0,5;$

г) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}, a = 2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для функции $f(x) = 2 - \sin x$ найти две первообразные, расстояние между соответствующими точками графиков которых равно $a = 4$.

Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$. Первообразная — это функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. Для ее нахождения вычислим неопределенный интеграл: $F_{общ}(x) = \int (2 - \sin x) dx = \int 2 dx - \int \sin x dx = 2x - (-\cos x) + C = 2x + \cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Любые две первообразные для одной и той же функции отличаются друг от друга на константу. Пусть $F_1(x) = 2x + \cos x + C_1$ и $F_2(x) = 2x + \cos x + C_2$ — две различные первообразные.

Расстояние между точками графиков этих функций с одинаковой абсциссой $x$ равно модулю разности их ординат: $|F_2(x) - F_1(x)| = |(2x + \cos x + C_2) - (2x + \cos x + C_1)| = |C_2 - C_1|$.

По условию задачи это расстояние должно быть равно $a=4$. Следовательно, $|C_2 - C_1| = 4$. Мы можем выбрать константы $C_1$ и $C_2$ любым способом, удовлетворяющим этому условию. Самый простой выбор — положить $C_1 = 0$ и $C_2 = 4$.

Таким образом, мы получаем две искомые первообразные: $F_1(x) = 2x + \cos x$ $F_2(x) = 2x + \cos x + 4$

Ответ: $F_1(x) = 2x + \cos x$ и $F_2(x) = 2x + \cos x + 4$.

б) Для функции $f(x) = 1 + \operatorname{tg}^2 x$ найти две первообразные, расстояние между соответствующими точками графиков которых равно $a = 1$.

Сначала упростим данную функцию, используя основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и косинус: $1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$. Таким образом, $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Теперь найдем общий вид первообразной для $f(x)$, вычислив интеграл: $F_{общ}(x) = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \operatorname{tg} x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Пусть $F_1(x) = \operatorname{tg} x + C_1$ и $F_2(x) = \operatorname{tg} x + C_2$ — две искомые первообразные. Расстояние между их графиками для одного и того же $x$ равно $|F_2(x) - F_1(x)| = |C_2 - C_1|$.

По условию, это расстояние равно $a=1$, значит, $|C_2 - C_1| = 1$. Выберем $C_1 = 0$ и $C_2 = 1$.

Тогда искомые первообразные: $F_1(x) = \operatorname{tg} x$ $F_2(x) = \operatorname{tg} x + 1$

Ответ: $F_1(x) = \operatorname{tg} x$ и $F_2(x) = \operatorname{tg} x + 1$.

в) Для функции $f(x) = \sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2}$ найти две первообразные, расстояние между соответствующими точками графиков которых равно $a = 0,5$.

Упростим данную функцию, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. $f(x) = \sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2} = -(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2})$. Применив формулу с $\alpha = \frac{x}{2}$, получаем: $f(x) = -\cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = -\cos x$.

Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = -\cos x$: $F_{общ}(x) = \int (-\cos x) dx = -\int \cos x dx = -\sin x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Две первообразные $F_1(x) = -\sin x + C_1$ и $F_2(x) = -\sin x + C_2$ находятся на расстоянии $|C_2 - C_1|$ друг от друга.

По условию, $|C_2 - C_1| = a = 0,5$. Выберем $C_1 = 0$ и $C_2 = 0,5$.

Получаем две первообразные: $F_1(x) = -\sin x$ $F_2(x) = -\sin x + 0,5$

Ответ: $F_1(x) = -\sin x$ и $F_2(x) = -\sin x + 0,5$.

г) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ найти две первообразные, расстояние между соответствующими точками графиков которых равно $a = 2$.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-1/2}$. Найдем общий вид первообразной, используя формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: $F_{общ}(x) = \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C$, где $C$ — произвольная постоянная. (Область определения $x > 0$).

Пусть искомые первообразные $F_1(x) = 2\sqrt{x} + C_1$ и $F_2(x) = 2\sqrt{x} + C_2$. Расстояние между их графиками равно $|C_2 - C_1|$.

По условию, это расстояние равно $a=2$, следовательно, $|C_2 - C_1| = 2$. Выберем $C_1 = 0$ и $C_2 = 2$.

Тогда искомые первообразные: $F_1(x) = 2\sqrt{x}$ $F_2(x) = 2\sqrt{x} + 2$

Ответ: $F_1(x) = 2\sqrt{x}$ и $F_2(x) = 2\sqrt{x} + 2$.