Номер 340, страница 181 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 7. Первообразная. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 340, страница 181.
№340 (с. 181)
Условие. №340 (с. 181)
скриншот условия

340.— Для функции $f$ найдите две первообразные, расстояние между соответствующими точками графиков которых (т. е. точками с равными абсциссами) равно $a$:
а) $f(x) = 2 - \sin x, a = 4;$
б) $f(x) = 1 + \operatorname{tg}^2 x, a = 1;$
в) $f(x) = \sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2}, a = 0,5;$
г) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}, a = 2.$
Решение 1. №340 (с. 181)

Решение 3. №340 (с. 181)

Решение 4. №340 (с. 181)

Решение 5. №340 (с. 181)
а) Для функции $f(x) = 2 - \sin x$ найти две первообразные, расстояние между соответствующими точками графиков которых равно $a = 4$.
Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$. Первообразная — это функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. Для ее нахождения вычислим неопределенный интеграл: $F_{общ}(x) = \int (2 - \sin x) dx = \int 2 dx - \int \sin x dx = 2x - (-\cos x) + C = 2x + \cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Любые две первообразные для одной и той же функции отличаются друг от друга на константу. Пусть $F_1(x) = 2x + \cos x + C_1$ и $F_2(x) = 2x + \cos x + C_2$ — две различные первообразные.
Расстояние между точками графиков этих функций с одинаковой абсциссой $x$ равно модулю разности их ординат: $|F_2(x) - F_1(x)| = |(2x + \cos x + C_2) - (2x + \cos x + C_1)| = |C_2 - C_1|$.
По условию задачи это расстояние должно быть равно $a=4$. Следовательно, $|C_2 - C_1| = 4$. Мы можем выбрать константы $C_1$ и $C_2$ любым способом, удовлетворяющим этому условию. Самый простой выбор — положить $C_1 = 0$ и $C_2 = 4$.
Таким образом, мы получаем две искомые первообразные: $F_1(x) = 2x + \cos x$ $F_2(x) = 2x + \cos x + 4$
Ответ: $F_1(x) = 2x + \cos x$ и $F_2(x) = 2x + \cos x + 4$.
б) Для функции $f(x) = 1 + \operatorname{tg}^2 x$ найти две первообразные, расстояние между соответствующими точками графиков которых равно $a = 1$.
Сначала упростим данную функцию, используя основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и косинус: $1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$. Таким образом, $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Теперь найдем общий вид первообразной для $f(x)$, вычислив интеграл: $F_{общ}(x) = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \operatorname{tg} x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Пусть $F_1(x) = \operatorname{tg} x + C_1$ и $F_2(x) = \operatorname{tg} x + C_2$ — две искомые первообразные. Расстояние между их графиками для одного и того же $x$ равно $|F_2(x) - F_1(x)| = |C_2 - C_1|$.
По условию, это расстояние равно $a=1$, значит, $|C_2 - C_1| = 1$. Выберем $C_1 = 0$ и $C_2 = 1$.
Тогда искомые первообразные: $F_1(x) = \operatorname{tg} x$ $F_2(x) = \operatorname{tg} x + 1$
Ответ: $F_1(x) = \operatorname{tg} x$ и $F_2(x) = \operatorname{tg} x + 1$.
в) Для функции $f(x) = \sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2}$ найти две первообразные, расстояние между соответствующими точками графиков которых равно $a = 0,5$.
Упростим данную функцию, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. $f(x) = \sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2} = -(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2})$. Применив формулу с $\alpha = \frac{x}{2}$, получаем: $f(x) = -\cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = -\cos x$.
Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = -\cos x$: $F_{общ}(x) = \int (-\cos x) dx = -\int \cos x dx = -\sin x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Две первообразные $F_1(x) = -\sin x + C_1$ и $F_2(x) = -\sin x + C_2$ находятся на расстоянии $|C_2 - C_1|$ друг от друга.
По условию, $|C_2 - C_1| = a = 0,5$. Выберем $C_1 = 0$ и $C_2 = 0,5$.
Получаем две первообразные: $F_1(x) = -\sin x$ $F_2(x) = -\sin x + 0,5$
Ответ: $F_1(x) = -\sin x$ и $F_2(x) = -\sin x + 0,5$.
г) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ найти две первообразные, расстояние между соответствующими точками графиков которых равно $a = 2$.
Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-1/2}$. Найдем общий вид первообразной, используя формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: $F_{общ}(x) = \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C$, где $C$ — произвольная постоянная. (Область определения $x > 0$).
Пусть искомые первообразные $F_1(x) = 2\sqrt{x} + C_1$ и $F_2(x) = 2\sqrt{x} + C_2$. Расстояние между их графиками равно $|C_2 - C_1|$.
По условию, это расстояние равно $a=2$, следовательно, $|C_2 - C_1| = 2$. Выберем $C_1 = 0$ и $C_2 = 2$.
Тогда искомые первообразные: $F_1(x) = 2\sqrt{x}$ $F_2(x) = 2\sqrt{x} + 2$
Ответ: $F_1(x) = 2\sqrt{x}$ и $F_2(x) = 2\sqrt{x} + 2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 340 расположенного на странице 181 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №340 (с. 181), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.