Номер 343, страница 183 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 343, страница 183.

Условие.

343. a) $f(x) = (2x - 3)^5$;

б) $f(x) = 3 \sin 2x$;

в) $f(x) = (4 - 5x)^7$;

г) $f(x) = -\frac{1}{3}\cos\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}\right)$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данных задач необходимо найти первообразные $F(x)$ для заданных функций $f(x)$. Первообразная — это функция, производная которой равна исходной функции, то есть $F'(x) = f(x)$. Общий вид первообразной всегда включает произвольную постоянную $C$.

а) Дана функция $f(x) = (2x - 3)^5$.

Это сложная функция вида $(kx+b)^n$. Для нахождения ее первообразной используется формула: $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \cdot \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

В нашем случае коэффициенты: $k=2$, $b=-3$ и степень $n=5$.

Подставляем эти значения в формулу:

$F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-3)^{5+1}}{5+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-3)^6}{6} + C = \frac{(2x-3)^6}{12} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{(2x-3)^6}{12} + C$.

в) Дана функция $f(x) = (4 - 5x)^7$.

Аналогично пункту а), используем формулу для первообразной функции вида $(kx+b)^n$: $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \cdot \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

Здесь коэффициенты: $k=-5$, $b=4$ и степень $n=7$.

Подставляем значения:

$F(x) = \frac{1}{-5} \cdot \frac{(4-5x)^{7+1}}{7+1} + C = -\frac{1}{5} \cdot \frac{(4-5x)^8}{8} + C = -\frac{(4-5x)^8}{40} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{(4-5x)^8}{40} + C$.

б) Дана функция $f(x) = 3 \sin(2x)$.

Это функция вида $A\sin(kx+b)$. Ее первообразная находится по формуле: $\int A\sin(kx+b) dx = -\frac{A}{k}\cos(kx+b) + C$.

В данном случае: $A=3$, $k=2$, $b=0$.

Подставляем значения в формулу:

$F(x) = -\frac{3}{2}\cos(2x) + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{3}{2}\cos(2x) + C$.

г) Дана функция $f(x) = -\frac{1}{3}\cos\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}\right)$.

Это функция вида $A\cos(kx+b)$. Ее первообразная находится по формуле: $\int A\cos(kx+b) dx = \frac{A}{k}\sin(kx+b) + C$.

В данном случае: $A = -\frac{1}{3}$, $k = \frac{1}{3}$, $b = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем значения в формулу:

$F(x) = \frac{-1/3}{1/3}\sin\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}\right) + C = -1 \cdot \sin\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}\right) + C = -\sin\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}\right) + C$.

Ответ: $F(x) = -\sin\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}\right) + C$.