Номер 337, страница 180 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 7. Первообразная. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 337, страница 180.

Условие.

337.- Для функции $f$ найдите первообразную $F$, принимающую заданное значение в указанной точке:

a) $f(x) = \frac{1}{x^2}$, $F\left(\frac{1}{2}\right) = -12;$

б) $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$, $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0;$

в) $f(x) = x^3$, $F(-1) = 2;$

г) $f(x) = \sin x$, $F(-\pi) = -1.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для функции $f(x) = \frac{1}{x^2}$, $F(\frac{1}{2}) = -12$.

Чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, необходимо вычислить неопределенный интеграл от $f(x)$. Общий вид первообразной будет содержать константу интегрирования $C$.

$F(x) = \int f(x) dx = \int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx$

Применяя формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$.

Теперь используем заданное условие $F(\frac{1}{2}) = -12$ для нахождения значения константы $C$. Подставим $x = \frac{1}{2}$ в выражение для $F(x)$:

$F(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{1/2} + C = -2 + C$.

Поскольку нам дано, что $F(\frac{1}{2}) = -12$, мы можем составить уравнение:

$-2 + C = -12$.

Решая это уравнение, находим $C$:

$C = -12 + 2 = -10$.

Подставляем найденное значение $C$ обратно в общую формулу первообразной, чтобы получить искомую функцию $F(x)$:

$F(x) = -\frac{1}{x} - 10$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x} - 10$.

б) Для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$, $F(\frac{\pi}{4}) = 0$.

Находим общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$. Это табличный интеграл.

$F(x) = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$.

Используем условие $F(\frac{\pi}{4}) = 0$, чтобы найти константу $C$. Подставляем $x = \frac{\pi}{4}$ в выражение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) + C$.

Зная, что $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$1 + C = 0$.

Отсюда $C = -1$.

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = \tan x - 1$.

Ответ: $F(x) = \tan x - 1$.

в) Для функции $f(x) = x^3$, $F(-1) = 2$.

Находим общий вид первообразной для функции $f(x) = x^3$, используя формулу для степенной функции:

$F(x) = \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$.

Используем условие $F(-1) = 2$ для определения значения $C$. Подставляем $x = -1$:

$F(-1) = \frac{(-1)^4}{4} + C = \frac{1}{4} + C$.

Составляем уравнение:

$\frac{1}{4} + C = 2$.

Решаем для $C$:

$C = 2 - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.

Подставляем значение $C$ в выражение для $F(x)$:

$F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{7}{4}$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{7}{4}$.

г) Для функции $f(x) = \sin x$, $F(-\pi) = -1$.

Находим общий вид первообразной для функции $f(x) = \sin x$. Это табличный интеграл.

$F(x) = \int \sin x dx = -\cos x + C$.

Используем условие $F(-\pi) = -1$ для нахождения $C$. Подставляем $x = -\pi$:

$F(-\pi) = -\cos(-\pi) + C$.

Так как косинус — четная функция, $\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -1$.

$F(-\pi) = -(-1) + C = 1 + C$.

Составляем уравнение:

$1 + C = -1$.

Решаем для $C$:

$C = -1 - 1 = -2$.

Подставляем найденное значение $C$ в выражение для $F(x)$:

$F(x) = -\cos x - 2$.

Ответ: $F(x) = -\cos x - 2$.