Номер 344, страница 183 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 344, страница 183.

Условие.

344. a) $f(x) = \frac{3}{(4-15x)^4}$;

б) $f(x) = \frac{2}{\cos^2 \left(\frac{\pi}{3}-x\right)}$;

В) $f(x) = \frac{4}{(3x-1)^2}$;

г) $f(x) = -\frac{2}{x^5} + \frac{1}{\cos^2 (3x-1)}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

a) Для нахождения первообразной функции $f(x) = \frac{3}{(4-15x)^4}$ найдем неопределенный интеграл $\int f(x) \, dx$.
Перепишем функцию в виде $f(x) = 3(4-15x)^{-4}$. Для нахождения интеграла воспользуемся формулой для степенной функции $\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ и методом замены переменной.
Пусть $u = 4-15x$, тогда $du = (4-15x)' dx = -15 \, dx$, откуда $dx = -\frac{1}{15} du$.
$F(x) = \int 3(4-15x)^{-4} \, dx = 3 \int u^{-4} \left(-\frac{1}{15} du\right) = -\frac{3}{15} \int u^{-4} du = -\frac{1}{5} \frac{u^{-3}}{-3} + C = \frac{1}{15}u^{-3} + C$.
Выполним обратную замену:
$F(x) = \frac{1}{15(4-15x)^3} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{15(4-15x)^3} + C$.

б) Для функции $f(x) = \frac{2}{\cos^2(\frac{\pi}{3} - x)}$ найдем интеграл $\int \frac{2}{\cos^2(\frac{\pi}{3} - x)} \, dx$.
Используем табличный интеграл $\int \frac{1}{\cos^2 u} \, du = \tan u + C$. Сделаем замену переменной $u = \frac{\pi}{3} - x$.
Тогда $du = (\frac{\pi}{3} - x)' dx = -1 \, dx$, откуда $dx = -du$.
$F(x) = \int \frac{2}{\cos^2 u} (-du) = -2 \int \frac{1}{\cos^2 u} \, du = -2 \tan u + C$.
Выполним обратную замену:
$F(x) = -2 \tan(\frac{\pi}{3} - x) + C$.
Ответ: $F(x) = -2 \tan(\frac{\pi}{3} - x) + C$.

в) Для функции $f(x) = \frac{4}{(3x-1)^2}$ найдем интеграл $\int \frac{4}{(3x-1)^2} \, dx$.
Перепишем функцию как $f(x) = 4(3x-1)^{-2}$. Сделаем замену $u = 3x-1$.
Тогда $du = (3x-1)' dx = 3 \, dx$, откуда $dx = \frac{1}{3} du$.
$F(x) = \int 4u^{-2} \left(\frac{1}{3} du\right) = \frac{4}{3} \int u^{-2} du = \frac{4}{3} \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{4}{3}u^{-1} + C$.
Выполним обратную замену:
$F(x) = -\frac{4}{3(3x-1)} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{4}{3(3x-1)} + C$.

г) Для функции $f(x) = -\frac{2}{x^5} + \frac{1}{\cos^2(3x-1)}$ найдем интеграл, используя свойство линейности: интеграл суммы равен сумме интегралов.
$F(x) = \int \left(-\frac{2}{x^5} + \frac{1}{\cos^2(3x-1)}\right) \, dx = \int -2x^{-5} \, dx + \int \frac{1}{\cos^2(3x-1)} \, dx$.
Найдем каждый интеграл по отдельности:
1) $\int -2x^{-5} \, dx = -2 \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C_1 = -2 \frac{x^{-4}}{-4} + C_1 = \frac{1}{2}x^{-4} + C_1 = \frac{1}{2x^4} + C_1$.
2) $\int \frac{1}{\cos^2(3x-1)} \, dx$. Сделаем замену $u=3x-1$, тогда $du = 3dx$, $dx=\frac{1}{3}du$.
$\int \frac{1}{\cos^2 u} \left(\frac{1}{3}du\right) = \frac{1}{3}\int \frac{1}{\cos^2 u} du = \frac{1}{3}\tan u + C_2 = \frac{1}{3}\tan(3x-1) + C_2$.
Объединяя результаты и константы ($C = C_1 + C_2$), получаем:
$F(x) = \frac{1}{2x^4} + \frac{1}{3}\tan(3x-1) + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{2x^4} + \frac{1}{3}\tan(3x-1) + C$.