Номер 348, страница 184 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 7. Первообразная - номер 348, страница 184.

Условие.

348.—

Скорость прямолинейно движущейся точки задана формулой $v(t) = t^2 + 2t - 1$. Запишите формулу зависимости ее координаты $x$ от времени $t$, если известно, что в начальный момент времени ($t = 0$) точка находилась в начале координат.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Скорость $v(t)$ является производной от координаты $x(t)$ по времени $t$. Следовательно, чтобы найти зависимость координаты от времени, необходимо найти первообразную (проинтегрировать) функцию скорости $v(t)$.

Задана функция скорости: $v(t) = t^2 + 2t - 1$.

Найдем первообразную для этой функции:

$x(t) = \int v(t) dt = \int (t^2 + 2t - 1) dt$

Используя таблицу первообразных, получаем:

$x(t) = \frac{t^3}{3} + 2 \cdot \frac{t^2}{2} - t + C = \frac{t^3}{3} + t^2 - t + C$

Здесь $C$ — это постоянная интегрирования, которую мы найдем из начальных условий.

По условию, в начальный момент времени $t=0$ точка находилась в начале координат, что означает $x(0) = 0$. Подставим эти значения в найденное уравнение для $x(t)$:

$x(0) = \frac{0^3}{3} + 0^2 - 0 + C$

$0 = 0 + 0 - 0 + C$

Отсюда следует, что $C=0$.

Теперь подставим найденное значение $C$ обратно в выражение для $x(t)$, чтобы получить итоговую формулу зависимости координаты от времени.

$x(t) = \frac{t^3}{3} + t^2 - t + 0$

$x(t) = \frac{t^3}{3} + t^2 - t$

Ответ: $x(t) = \frac{t^3}{3} + t^2 - t$