Номер 355, страница 188 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 8. Интеграл. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 355, страница 188.
№355 (с. 188)
Условие. №355 (с. 188)
скриншот условия

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (355—356).
355.—
а) $y = (x + 2)^2$, $y = 0$, $x = 0;
б) $y = \frac{1}{(x+1)^2} + 1$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2;
в) $y = 2x - x^2$, $y = 0;
г) $y = -(x - 1)^3$, $y = 0$, $x = 0.
Решение 1. №355 (с. 188)


Решение 3. №355 (с. 188)

Решение 4. №355 (с. 188)


Решение 5. №355 (с. 188)
а) Фигура ограничена линиями $y = (x+2)^2$, $y = 0$ (ось Ox) и $x = 0$ (ось Oy).
График функции $y = (x+2)^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(-2, 0)$. Эта точка является точкой касания с осью Ox. Таким образом, фигура, площадь которой нужно найти, заключена между параболой, осью Ox и осью Oy. Пределы интегрирования по оси $x$ — от точки касания $x = -2$ до прямой $x = 0$.
Площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла. Поскольку на отрезке $[-2, 0]$ функция $y = (x+2)^2$ неотрицательна, площадь равна:
$S = \int_{-2}^{0} (x+2)^2 dx$
Для вычисления интеграла можно раскрыть скобки или использовать замену переменной. Раскроем скобки:
$S = \int_{-2}^{0} (x^2 + 4x + 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + 4x \right]_{-2}^{0} = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x \right]_{-2}^{0}$
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:
$S = \left(\frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} + 2(-2)^2 + 4(-2)\right) = 0 - \left(-\frac{8}{3} + 8 - 8\right) = - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3}$
Ответ: $S = \frac{8}{3}$
б) Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{(x+1)^2} + 1$, $y = 0$ (ось Ox), $x = 0$ и $x = 2$.
Фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции $y = \frac{1}{(x+1)^2} + 1$, снизу — осью Ox, и с боков — прямыми $x=0$ и $x=2$. Пределы интегрирования заданы в условии: от $a=0$ до $b=2$. На этом промежутке функция $y$ положительна, так как $\frac{1}{(x+1)^2} > 0$.
Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл:
$S = \int_{0}^{2} \left(\frac{1}{(x+1)^2} + 1\right) dx = \int_{0}^{2} (x+1)^{-2} dx + \int_{0}^{2} 1 dx$
Найдем первообразную:
$\int \left((x+1)^{-2} + 1\right) dx = \frac{(x+1)^{-1}}{-1} + x = -\frac{1}{x+1} + x$
Подставим пределы интегрирования:
$S = \left[ -\frac{1}{x+1} + x \right]_{0}^{2} = \left(-\frac{1}{2+1} + 2\right) - \left(-\frac{1}{0+1} + 0\right) = \left(-\frac{1}{3} + 2\right) - (-1) = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3}$
Ответ: $S = \frac{8}{3}$
в) Фигура ограничена линиями $y = 2x - x^2$ и $y = 0$ (ось Ox).
График функции $y = 2x - x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Чтобы найти пределы интегрирования, найдем точки пересечения параболы с осью Ox, решив уравнение $y=0$:
$2x - x^2 = 0 \implies x(2-x) = 0$
Отсюда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Это и будут пределы интегрирования. На интервале $(0, 2)$ функция $y=2x-x^2$ положительна (например, при $x=1$, $y=1$).
Площадь фигуры равна:
$S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx$
Вычислим интеграл:
$S = \left[ 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left(2^2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(0^2 - \frac{0^3}{3}\right) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3}$
Ответ: $S = \frac{4}{3}$
г) Фигура ограничена линиями $y = -(x - 1)^3$, $y = 0$ (ось Ox) и $x = 0$ (ось Oy).
График функции $y = -(x - 1)^3$ — это кубическая парабола. Найдем точку ее пересечения с осью Ox:
$-(x - 1)^3 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$
Фигура ограничена кривой, осью Ox ($y=0$) и осью Oy ($x=0$). Таким образом, пределы интегрирования по оси $x$ — от $0$ до $1$.
На отрезке $[0, 1)$ значение $(x-1)$ отрицательно, следовательно $(x-1)^3$ отрицательно, а $y = -(x-1)^3$ положительно. Значит, график функции находится над осью Ox.
Площадь фигуры равна:
$S = \int_{0}^{1} -(x-1)^3 dx$
Вычислим интеграл, используя замену $u=x-1$, $du=dx$. Новые пределы: если $x=0$, то $u=-1$; если $x=1$, то $u=0$.
$S = \int_{-1}^{0} -u^3 du = \left[ -\frac{u^4}{4} \right]_{-1}^{0} = \left(-\frac{0^4}{4}\right) - \left(-\frac{(-1)^4}{4}\right) = 0 - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}$
Ответ: $S = \frac{1}{4}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 355 расположенного на странице 188 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №355 (с. 188), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.