Номер 355, страница 188 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 8. Интеграл - номер 355, страница 188.

Условие.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (355—356).

355.—

а) $y = (x + 2)^2$, $y = 0$, $x = 0;

б) $y = \frac{1}{(x+1)^2} + 1$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2;

в) $y = 2x - x^2$, $y = 0;

г) $y = -(x - 1)^3$, $y = 0$, $x = 0.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Фигура ограничена линиями $y = (x+2)^2$, $y = 0$ (ось Ox) и $x = 0$ (ось Oy).

График функции $y = (x+2)^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(-2, 0)$. Эта точка является точкой касания с осью Ox. Таким образом, фигура, площадь которой нужно найти, заключена между параболой, осью Ox и осью Oy. Пределы интегрирования по оси $x$ — от точки касания $x = -2$ до прямой $x = 0$.

Площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла. Поскольку на отрезке $[-2, 0]$ функция $y = (x+2)^2$ неотрицательна, площадь равна:

$S = \int_{-2}^{0} (x+2)^2 dx$

Для вычисления интеграла можно раскрыть скобки или использовать замену переменной. Раскроем скобки:

$S = \int_{-2}^{0} (x^2 + 4x + 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + 4x \right]_{-2}^{0} = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x \right]_{-2}^{0}$

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = \left(\frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} + 2(-2)^2 + 4(-2)\right) = 0 - \left(-\frac{8}{3} + 8 - 8\right) = - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3}$

Ответ: $S = \frac{8}{3}$

б) Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{(x+1)^2} + 1$, $y = 0$ (ось Ox), $x = 0$ и $x = 2$.

Фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции $y = \frac{1}{(x+1)^2} + 1$, снизу — осью Ox, и с боков — прямыми $x=0$ и $x=2$. Пределы интегрирования заданы в условии: от $a=0$ до $b=2$. На этом промежутке функция $y$ положительна, так как $\frac{1}{(x+1)^2} > 0$.

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл:

$S = \int_{0}^{2} \left(\frac{1}{(x+1)^2} + 1\right) dx = \int_{0}^{2} (x+1)^{-2} dx + \int_{0}^{2} 1 dx$

Найдем первообразную:

$\int \left((x+1)^{-2} + 1\right) dx = \frac{(x+1)^{-1}}{-1} + x = -\frac{1}{x+1} + x$

Подставим пределы интегрирования:

$S = \left[ -\frac{1}{x+1} + x \right]_{0}^{2} = \left(-\frac{1}{2+1} + 2\right) - \left(-\frac{1}{0+1} + 0\right) = \left(-\frac{1}{3} + 2\right) - (-1) = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3}$

Ответ: $S = \frac{8}{3}$

в) Фигура ограничена линиями $y = 2x - x^2$ и $y = 0$ (ось Ox).

График функции $y = 2x - x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Чтобы найти пределы интегрирования, найдем точки пересечения параболы с осью Ox, решив уравнение $y=0$:

$2x - x^2 = 0 \implies x(2-x) = 0$

Отсюда получаем $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Это и будут пределы интегрирования. На интервале $(0, 2)$ функция $y=2x-x^2$ положительна (например, при $x=1$, $y=1$).

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left(2^2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(0^2 - \frac{0^3}{3}\right) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3}$

Ответ: $S = \frac{4}{3}$

г) Фигура ограничена линиями $y = -(x - 1)^3$, $y = 0$ (ось Ox) и $x = 0$ (ось Oy).

График функции $y = -(x - 1)^3$ — это кубическая парабола. Найдем точку ее пересечения с осью Ox:

$-(x - 1)^3 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$

Фигура ограничена кривой, осью Ox ($y=0$) и осью Oy ($x=0$). Таким образом, пределы интегрирования по оси $x$ — от $0$ до $1$.

На отрезке $[0, 1)$ значение $(x-1)$ отрицательно, следовательно $(x-1)^3$ отрицательно, а $y = -(x-1)^3$ положительно. Значит, график функции находится над осью Ox.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{0}^{1} -(x-1)^3 dx$

Вычислим интеграл, используя замену $u=x-1$, $du=dx$. Новые пределы: если $x=0$, то $u=-1$; если $x=1$, то $u=0$.

$S = \int_{-1}^{0} -u^3 du = \left[ -\frac{u^4}{4} \right]_{-1}^{0} = \left(-\frac{0^4}{4}\right) - \left(-\frac{(-1)^4}{4}\right) = 0 - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}$

Ответ: $S = \frac{1}{4}$