Номер 353, страница 188 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 8. Интеграл. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 353, страница 188.
№353 (с. 188)
Условие. №353 (с. 188)
скриншот условия

353. a) $y = x^2, y = 0, x = 3;$
б) $y = \cos x, y = 0, x = 0, x = \frac{\pi}{2};$
в) $y = \sin x, y = 0, x = 0, x = \pi;$
г) $y = \frac{1}{x^2}, y = 0, x = 1, x = 2.$
Решение 1. №353 (с. 188)

Решение 3. №353 (с. 188)

Решение 4. №353 (с. 188)

Решение 5. №353 (с. 188)
а)
Фигура, площадь которой необходимо найти, представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную параболой $y = x^2$, осью абсцисс $y = 0$ и вертикальной прямой $x = 3$. Так как парабола $y=x^2$ пересекает ось $y=0$ в точке $x=0$, пределы интегрирования для нахождения площади — от 0 до 3. На отрезке $[0, 3]$ функция $y = x^2$ неотрицательна ($x^2 \ge 0$), поэтому площадь вычисляется с помощью определенного интеграла.
Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{0}^{3} x^2 \,dx$
Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = x^2$ равна $F(x) = \frac{x^3}{3}$.
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:
$S = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9$.
Ответ: 9
б)
Данная фигура ограничена графиком функции $y = \cos x$, осью абсцисс $y = 0$ и прямыми $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{2}$. На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $y = \cos x$ неотрицательна. Следовательно, площадь фигуры можно найти как определенный интеграл от этой функции в указанных пределах.
Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx$
Первообразная для функции $f(x) = \cos x$ есть $F(x) = \sin x$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left. \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.
Ответ: 1
в)
Фигура ограничена графиком функции $y = \sin x$, осью абсцисс $y = 0$ и прямыми $x = 0$ и $x = \pi$. На отрезке $[0, \pi]$ функция $y = \sin x$ неотрицательна ($ \sin x \ge 0 $). Площадь этой фигуры равна определенному интегралу.
Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx$
Первообразная для функции $f(x) = \sin x$ есть $F(x) = -\cos x$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left. (-\cos x) \right|_{0}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$.
Ответ: 2
г)
Фигура ограничена графиком функции $y = \frac{1}{x^2}$, осью абсцисс $y = 0$ и прямыми $x = 1$ и $x = 2$. На отрезке $[1, 2]$ функция $y = \frac{1}{x^2}$ положительна, поэтому ее площадь вычисляется через определенный интеграл.
Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \,dx = \int_{1}^{2} x^{-2} \,dx$
Первообразная для функции $f(x) = x^{-2}$ есть $F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left. \left(-\frac{1}{x}\right) \right|_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 353 расположенного на странице 188 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №353 (с. 188), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.