Номер 353, страница 188 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 8. Интеграл - номер 353, страница 188.

Условие.

353. a) $y = x^2, y = 0, x = 3;$

б) $y = \cos x, y = 0, x = 0, x = \frac{\pi}{2};$

в) $y = \sin x, y = 0, x = 0, x = \pi;$

г) $y = \frac{1}{x^2}, y = 0, x = 1, x = 2.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Фигура, площадь которой необходимо найти, представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную параболой $y = x^2$, осью абсцисс $y = 0$ и вертикальной прямой $x = 3$. Так как парабола $y=x^2$ пересекает ось $y=0$ в точке $x=0$, пределы интегрирования для нахождения площади — от 0 до 3. На отрезке $[0, 3]$ функция $y = x^2$ неотрицательна ($x^2 \ge 0$), поэтому площадь вычисляется с помощью определенного интеграла.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{3} x^2 \,dx$

Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = x^2$ равна $F(x) = \frac{x^3}{3}$.

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9$.

Ответ: 9

б)

Данная фигура ограничена графиком функции $y = \cos x$, осью абсцисс $y = 0$ и прямыми $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{2}$. На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $y = \cos x$ неотрицательна. Следовательно, площадь фигуры можно найти как определенный интеграл от этой функции в указанных пределах.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = \cos x$ есть $F(x) = \sin x$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.

Ответ: 1

в)

Фигура ограничена графиком функции $y = \sin x$, осью абсцисс $y = 0$ и прямыми $x = 0$ и $x = \pi$. На отрезке $[0, \pi]$ функция $y = \sin x$ неотрицательна ($ \sin x \ge 0 $). Площадь этой фигуры равна определенному интегралу.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = \sin x$ есть $F(x) = -\cos x$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. (-\cos x) \right|_{0}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2

г)

Фигура ограничена графиком функции $y = \frac{1}{x^2}$, осью абсцисс $y = 0$ и прямыми $x = 1$ и $x = 2$. На отрезке $[1, 2]$ функция $y = \frac{1}{x^2}$ положительна, поэтому ее площадь вычисляется через определенный интеграл.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \,dx = \int_{1}^{2} x^{-2} \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = x^{-2}$ есть $F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \left(-\frac{1}{x}\right) \right|_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$