Номер 359, страница 192 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 8. Интеграл - номер 359, страница 192.

Условие.

359. Докажите справедливость равенства:

a) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} = \int_0^1 dx;$

б) $\int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx = \int_{\frac{1}{16}}^{\frac{1}{4}} \frac{dx}{\sqrt{x}};$

в) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \int_0^{\frac{3}{\sqrt{3}}} x^2 dx;$

г) $\int_0^1 (2x + 1) dx = \int_0^2 (x^3 - 1) dx.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать равенство, необходимо вычислить значение левой и правой частей и убедиться, что они равны.
1. Вычислим интеграл в левой части:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} $
Первообразная для функции $ f(x) = \frac{1}{\cos^2 x} $ есть $ F(x) = \tan x $.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} = [\tan x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(0) = 1 - 0 = 1 $.
2. Вычислим интеграл в правой части:
$ \int_{0}^{1} dx $
Первообразная для функции $ f(x) = 1 $ есть $ F(x) = x $.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{1} dx = [x]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1 $.
Так как левая часть равна 1 и правая часть равна 1, равенство справедливо.
Ответ: Равенство справедливо, так как обе части равны 1.

б) Чтобы доказать равенство, необходимо вычислить значение левой и правой частей и убедиться, что они равны.
1. Вычислим интеграл в левой части:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx $
Первообразная для функции $ f(x) = \sin x $ есть $ F(x) = -\cos x $.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -\cos(\frac{\pi}{3}) - (-\cos(0)) = -\frac{1}{2} - (-1) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $.
2. Вычислим интеграл в правой части:
$ \int_{\frac{1}{16}}^{\frac{1}{4}} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int_{\frac{1}{16}}^{\frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}} dx $
Первообразная для функции $ f(x) = x^{-\frac{1}{2}} $ есть $ F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x} $.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$ [2\sqrt{x}]_{\frac{1}{16}}^{\frac{1}{4}} = 2\sqrt{\frac{1}{4}} - 2\sqrt{\frac{1}{16}} = 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $.
Так как левая часть равна $ \frac{1}{2} $ и правая часть равна $ \frac{1}{2} $, равенство справедливо.
Ответ: Равенство справедливо, так как обе части равны $ \frac{1}{2} $.

в) Чтобы доказать равенство, необходимо вычислить значение левой и правой частей и убедиться, что они равны.
1. Вычислим интеграл в левой части:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx $
Первообразная для функции $ f(x) = \cos x $ есть $ F(x) = \sin x $.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 $.
2. Вычислим интеграл в правой части:
$ \int_{0}^{\sqrt[3]{3}} x^2 dx $
Первообразная для функции $ f(x) = x^2 $ есть $ F(x) = \frac{x^3}{3} $.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{\sqrt[3]{3}} x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_{0}^{\sqrt[3]{3}} = \frac{(\sqrt[3]{3})^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{3}{3} - 0 = 1 $.
Так как левая часть равна 1 и правая часть равна 1, равенство справедливо.
Ответ: Равенство справедливо, так как обе части равны 1.

г) Чтобы доказать равенство, необходимо вычислить значение левой и правой частей и убедиться, что они равны.
1. Вычислим интеграл в левой части:
$ \int_{0}^{1} (2x + 1) dx $
Первообразная для функции $ f(x) = 2x+1 $ есть $ F(x) = x^2 + x $.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{1} (2x + 1) dx = [x^2 + x]_{0}^{1} = (1^2 + 1) - (0^2 + 0) = 2 - 0 = 2 $.
2. Вычислим интеграл в правой части:
$ \int_{0}^{2} (x^3 - 1) dx $
Первообразная для функции $ f(x) = x^3 - 1 $ есть $ F(x) = \frac{x^4}{4} - x $.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{2} (x^3 - 1) dx = [\frac{x^4}{4} - x]_{0}^{2} = (\frac{2^4}{4} - 2) - (\frac{0^4}{4} - 0) = (\frac{16}{4} - 2) - 0 = 4 - 2 = 2 $.
Так как левая часть равна 2 и правая часть равна 2, равенство справедливо.
Ответ: Равенство справедливо, так как обе части равны 2.