Номер 364, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 8. Интеграл. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 364, страница 193.

№364 (с. 193)
Условие. №364 (с. 193)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 193, номер 364, Условие

Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями (364–366).

364.— а) $y = x^3$, $y = 8$, $x = 1$;

б) $y = 2 \cos x$, $y = 1$, $x = -\frac{\pi}{3}$, $x = \frac{\pi}{3}$;

в) $y = x^2 - 2x + 4$, $y = 3$, $x = -1$;

г) $y = \sin x$, $y = \frac{1}{2}$, $x = \frac{\pi}{6}$, $x = \frac{5\pi}{6}$;

Решение 1. №364 (с. 193)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 193, номер 364, Решение 1 Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 193, номер 364, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 3. №364 (с. 193)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 193, номер 364, Решение 3
Решение 4. №364 (с. 193)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 193, номер 364, Решение 4 Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 193, номер 364, Решение 4 (продолжение 2)
Решение 5. №364 (с. 193)

а) Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^3$, $y = 8$ и $x = 1$, сначала построим эскиз. График $y=x^3$ — это кубическая парабола. $y=8$ — горизонтальная прямая. $x=1$ — вертикальная прямая.

Найдем точки пересечения, чтобы определить пределы интегрирования. Одна граница задана — $x=1$. Другую границу найдем из пересечения графиков $y = x^3$ и $y = 8$: $x^3 = 8 \implies x = 2$.

Фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную слева прямой $x=1$, справа прямой $x=2$, снизу кривой $y=x^3$ и сверху прямой $y=8$. На отрезке $[1, 2]$ функция $y=8$ находится выше, чем $y=x^3$. Площадь фигуры $S$ вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций.

$S = \int_{1}^{2} (8 - x^3) dx = \left[ 8x - \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} = \left( 8 \cdot 2 - \frac{2^4}{4} \right) - \left( 8 \cdot 1 - \frac{1^4}{4} \right) = \left( 16 - \frac{16}{4} \right) - \left( 8 - \frac{1}{4} \right) = (16 - 4) - (\frac{32-1}{4}) = 12 - \frac{31}{4} = \frac{48 - 31}{4} = \frac{17}{4}$.

Ответ: $\frac{17}{4}$

б) Фигура ограничена линиями $y = 2 \cos x$, $y = 1$, $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{3}$. Пределы интегрирования заданы: от $x = -\frac{\pi}{3}$ до $x = \frac{\pi}{3}$.

Сравним значения функций на данном отрезке. На границах интервала: $2 \cos(-\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ и $2 \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$. Внутри интервала, например при $x=0$, $2 \cos(0) = 2$, что больше $1$. Таким образом, на интервале $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$ график функции $y=2 \cos x$ лежит выше прямой $y=1$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности функций $f(x)=2 \cos x$ и $g(x)=1$. $S = \int_{-\pi/3}^{\pi/3} (2 \cos x - 1) dx$.

Поскольку подынтегральная функция $(2 \cos x - 1)$ является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, интеграл можно упростить: $S = 2 \int_{0}^{\pi/3} (2 \cos x - 1) dx = 2 \left[ 2 \sin x - x \right]_{0}^{\pi/3} = 2 \left( (2 \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{3}) - (2 \sin(0) - 0) \right) = 2 \left( 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} \right) = 2(\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}) = 2\sqrt{3} - \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $2\sqrt{3} - \frac{2\pi}{3}$

в) Фигура ограничена линиями $y = x^2 - 2x + 4$, $y = 3$ и $x = -1$. График $y = x^2 - 2x + 4$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$, $y_v = 1^2 - 2(1) + 4 = 3$. Вершина находится в точке $(1, 3)$.

Найдем точки пересечения параболы с прямой $y=3$: $x^2 - 2x + 4 = 3 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x=1$. Мы получили одну точку $x=1$, что совпадает с абсциссой вершины. Это означает, что прямая $y=3$ касается параболы в ее вершине.

Фигура ограничена слева прямой $x=-1$, справа точкой касания $x=1$. На этом отрезке парабола $y = x^2 - 2x + 4 = (x-1)^2+3$ находится выше или на прямой $y=3$. Площадь вычисляется как интеграл от разности функций.

$S = \int_{-1}^{1} ((x^2 - 2x + 4) - 3) dx = \int_{-1}^{1} (x^2 - 2x + 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{2x^2}{2} + x \right]_{-1}^{1} = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + x \right]_{-1}^{1} = \left(\frac{1^3}{3} - 1^2 + 1\right) - \left(\frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + (-1)\right) = \left(\frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{3} - 1 - 1\right) = \frac{1}{3} - (-\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{7}{3} = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$

г) Фигура ограничена линиями $y = \sin x$, $y = \frac{1}{2}$, $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$. Пределы интегрирования заданы: от $x = \frac{\pi}{6}$ до $x = \frac{5\pi}{6}$.

Сравним функции на этом отрезке. На границах отрезка $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Между этими точками, например, при $x = \frac{\pi}{2}$, имеем $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, что больше $\frac{1}{2}$. Таким образом, на интервале $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$ график функции $y=\sin x$ лежит выше прямой $y=\frac{1}{2}$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности функций.

$S = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (\sin x - \frac{1}{2}) dx = \left[ -\cos x - \frac{x}{2} \right]_{\pi/6}^{5\pi/6} = \left(-\cos(\frac{5\pi}{6}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{5\pi}{6}\right) - \left(-\cos(\frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{6}\right)$.

Так как $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $S = \left(-(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{5\pi}{12}\right) - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{12}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{12}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \sqrt{3} - \frac{4\pi}{12} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 364 расположенного на странице 193 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №364 (с. 193), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.