Страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вычислите интегралы (362–363).

362.—

a) $\int_{-\pi}^{2\pi} \sin \frac{x}{3} dx$;

б) $\int_{-2}^{2} \frac{dx}{\sqrt{2x+5}};

в) $\int_{0}^{3\pi} \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{9}};

г) $\int_{-2}^{6} \frac{dx}{\sqrt{x+3}}$.

а) Для вычисления данного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для $ f(x) $.
Первообразная для функции $ f(x) = \sin\frac{x}{3} $ есть $ F(x) = -3\cos\frac{x}{3} $.
Подставим пределы интегрирования:
$ \int_{-\pi}^{2\pi} \sin\frac{x}{3}dx = \left[-3\cos\frac{x}{3}\right]_{-\pi}^{2\pi} = -3\cos\frac{2\pi}{3} - (-3\cos\frac{-\pi}{3}) = -3\left(-\frac{1}{2}\right) + 3\cos\frac{\pi}{3} = \frac{3}{2} + 3\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3 $.
Ответ: 3

б) Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{2} \frac{dx}{\sqrt{2x+5}} $.
Подынтегральная функция $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+5}} = (2x+5)^{-1/2} $.
Первообразная для нее $ F(x) = \sqrt{2x+5} $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{-2}^{2} \frac{dx}{\sqrt{2x+5}} = \left[\sqrt{2x+5}\right]_{-2}^{2} = \sqrt{2(2)+5} - \sqrt{2(-2)+5} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2 $.
Ответ: 2

в) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{3\pi} \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{9}} $.
Первообразная для функции $ f(x) = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{9}} $ есть $ F(x) = 9\tan\frac{x}{9} $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{0}^{3\pi} \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{9}} = \left[9\tan\frac{x}{9}\right]_{0}^{3\pi} = 9\tan\frac{3\pi}{9} - 9\tan\frac{0}{9} = 9\tan\frac{\pi}{3} - 9\tan(0) = 9\sqrt{3} - 0 = 9\sqrt{3} $.
Ответ: $9\sqrt{3}$

г) Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{6} \frac{dx}{\sqrt{x+3}} $.
Подынтегральная функция $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}} = (x+3)^{-1/2} $.
Первообразная для нее $ F(x) = 2\sqrt{x+3} $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{-2}^{6} \frac{dx}{\sqrt{x+3}} = \left[2\sqrt{x+3}\right]_{-2}^{6} = 2\sqrt{6+3} - 2\sqrt{-2+3} = 2\sqrt{9} - 2\sqrt{1} = 2(3) - 2(1) = 6 - 2 = 4 $.
Ответ: 4

363.— a) $\int_0^{\frac{2\pi}{3}} \left( \sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4} \right)^2 dx;$

б) $\int_0^2 (1 + 2x)^3 dx;$

в) $\int_0^{\frac{\pi}{12}} (1 + \cos 2x) dx;$

г) $\int_1^4 \left( x + \frac{\sqrt{x}}{x} \right) dx.$

a) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} (\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4})^2 dx$.

Сначала упростим подынтегральное выражение, используя тригонометрические тождества. Раскроем квадрат суммы:

$(\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4})^2 = \sin^2 \frac{x}{4} + 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4} + \cos^2 \frac{x}{4}$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулу синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin(2\alpha)$. В нашем случае $\alpha = \frac{x}{4}$.

$(\sin^2 \frac{x}{4} + \cos^2 \frac{x}{4}) + 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4} = 1 + \sin(2 \cdot \frac{x}{4}) = 1 + \sin(\frac{x}{2})$

Теперь интеграл принимает вид:

$\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} (1 + \sin(\frac{x}{2})) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$\int (1 + \sin(\frac{x}{2})) dx = \int 1 dx + \int \sin(\frac{x}{2}) dx = x - 2\cos(\frac{x}{2}) + C$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} (1 + \sin(\frac{x}{2})) dx = [x - 2\cos(\frac{x}{2})]_{0}^{\frac{2\pi}{3}}$

$= (\frac{2\pi}{3} - 2\cos(\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3})) - (0 - 2\cos(\frac{0}{2}))$

$= (\frac{2\pi}{3} - 2\cos(\frac{\pi}{3})) - (0 - 2\cos(0))$

Так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(0) = 1$, получаем:

$= (\frac{2\pi}{3} - 2 \cdot \frac{1}{2}) - (0 - 2 \cdot 1) = (\frac{2\pi}{3} - 1) - (-2) = \frac{2\pi}{3} - 1 + 2 = \frac{2\pi}{3} + 1$

Ответ: $\frac{2\pi}{3} + 1$.

б) Вычислим интеграл $\int_{0}^{2} (1 + 2x)^3 dx$.

Этот интеграл можно решить методом замены переменной. Пусть $u = 1 + 2x$. Тогда $du = 2 dx$, откуда $dx = \frac{1}{2} du$.

Найдем новые пределы интегрирования:

Если $x=0$, то $u = 1 + 2(0) = 1$.

Если $x=2$, то $u = 1 + 2(2) = 5$.

Подставим все в интеграл:

$\int_{0}^{2} (1 + 2x)^3 dx = \int_{1}^{5} u^3 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^3 du$

Теперь вычислим полученный интеграл:

$\frac{1}{2} [\frac{u^4}{4}]_{1}^{5} = \frac{1}{8} [u^4]_{1}^{5} = \frac{1}{8} (5^4 - 1^4) = \frac{1}{8} (625 - 1) = \frac{624}{8} = 78$

Ответ: $78$.

в) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} (1 + \cos 2x) dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 1 + \cos 2x$.

$\int (1 + \cos 2x) dx = \int 1 dx + \int \cos 2x dx$

Первообразная для $1$ равна $x$. Первообразная для $\cos 2x$ равна $\frac{1}{2}\sin 2x$.

Таким образом, первообразная для $1 + \cos 2x$ равна $x + \frac{1}{2}\sin 2x + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} (1 + \cos 2x) dx = [x + \frac{1}{2}\sin 2x]_{0}^{\frac{\pi}{12}}$

$= (\frac{\pi}{12} + \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{12})) - (0 + \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 0))$

$= (\frac{\pi}{12} + \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{6})) - (0 + \frac{1}{2}\sin(0))$

Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(0) = 0$, получаем:

$= (\frac{\pi}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) - (0 + 0) = \frac{\pi}{12} + \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{\pi}{12} + \frac{1}{4}$.

г) Вычислим интеграл $\int_{1}^{4} (x + \frac{\sqrt{x}}{x}) dx$.

Сначала упростим подынтегральное выражение:

$\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{x^{1/2}}{x^1} = x^{1/2 - 1} = x^{-1/2}$

Интеграл принимает вид:

$\int_{1}^{4} (x + x^{-1/2}) dx$

Найдем первообразную, используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int (x + x^{-1/2}) dx = \int x^1 dx + \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^2}{2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{x^2}{2} + 2\sqrt{x} + C$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{4} (x + x^{-1/2}) dx = [\frac{x^2}{2} + 2\sqrt{x}]_{1}^{4}$

$= (\frac{4^2}{2} + 2\sqrt{4}) - (\frac{1^2}{2} + 2\sqrt{1})$

$= (\frac{16}{2} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} + 2 \cdot 1)$

$= (8 + 4) - (\frac{1}{2} + 2) = 12 - (2 + \frac{1}{2}) = 12 - \frac{5}{2} = \frac{24}{2} - \frac{5}{2} = \frac{19}{2}$

Ответ: $\frac{19}{2}$.

Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями (364–366).

364.— а) $y = x^3$, $y = 8$, $x = 1$;

б) $y = 2 \cos x$, $y = 1$, $x = -\frac{\pi}{3}$, $x = \frac{\pi}{3}$;

в) $y = x^2 - 2x + 4$, $y = 3$, $x = -1$;

г) $y = \sin x$, $y = \frac{1}{2}$, $x = \frac{\pi}{6}$, $x = \frac{5\pi}{6}$;

а) Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^3$, $y = 8$ и $x = 1$, сначала построим эскиз. График $y=x^3$ — это кубическая парабола. $y=8$ — горизонтальная прямая. $x=1$ — вертикальная прямая.

Найдем точки пересечения, чтобы определить пределы интегрирования. Одна граница задана — $x=1$. Другую границу найдем из пересечения графиков $y = x^3$ и $y = 8$: $x^3 = 8 \implies x = 2$.

Фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную слева прямой $x=1$, справа прямой $x=2$, снизу кривой $y=x^3$ и сверху прямой $y=8$. На отрезке $[1, 2]$ функция $y=8$ находится выше, чем $y=x^3$. Площадь фигуры $S$ вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций.

$S = \int_{1}^{2} (8 - x^3) dx = \left[ 8x - \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} = \left( 8 \cdot 2 - \frac{2^4}{4} \right) - \left( 8 \cdot 1 - \frac{1^4}{4} \right) = \left( 16 - \frac{16}{4} \right) - \left( 8 - \frac{1}{4} \right) = (16 - 4) - (\frac{32-1}{4}) = 12 - \frac{31}{4} = \frac{48 - 31}{4} = \frac{17}{4}$.

Ответ: $\frac{17}{4}$

б) Фигура ограничена линиями $y = 2 \cos x$, $y = 1$, $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{3}$. Пределы интегрирования заданы: от $x = -\frac{\pi}{3}$ до $x = \frac{\pi}{3}$.

Сравним значения функций на данном отрезке. На границах интервала: $2 \cos(-\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ и $2 \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$. Внутри интервала, например при $x=0$, $2 \cos(0) = 2$, что больше $1$. Таким образом, на интервале $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$ график функции $y=2 \cos x$ лежит выше прямой $y=1$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности функций $f(x)=2 \cos x$ и $g(x)=1$. $S = \int_{-\pi/3}^{\pi/3} (2 \cos x - 1) dx$.

Поскольку подынтегральная функция $(2 \cos x - 1)$ является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, интеграл можно упростить: $S = 2 \int_{0}^{\pi/3} (2 \cos x - 1) dx = 2 \left[ 2 \sin x - x \right]_{0}^{\pi/3} = 2 \left( (2 \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{3}) - (2 \sin(0) - 0) \right) = 2 \left( 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} \right) = 2(\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}) = 2\sqrt{3} - \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $2\sqrt{3} - \frac{2\pi}{3}$

в) Фигура ограничена линиями $y = x^2 - 2x + 4$, $y = 3$ и $x = -1$. График $y = x^2 - 2x + 4$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$, $y_v = 1^2 - 2(1) + 4 = 3$. Вершина находится в точке $(1, 3)$.

Найдем точки пересечения параболы с прямой $y=3$: $x^2 - 2x + 4 = 3 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x=1$. Мы получили одну точку $x=1$, что совпадает с абсциссой вершины. Это означает, что прямая $y=3$ касается параболы в ее вершине.

Фигура ограничена слева прямой $x=-1$, справа точкой касания $x=1$. На этом отрезке парабола $y = x^2 - 2x + 4 = (x-1)^2+3$ находится выше или на прямой $y=3$. Площадь вычисляется как интеграл от разности функций.

$S = \int_{-1}^{1} ((x^2 - 2x + 4) - 3) dx = \int_{-1}^{1} (x^2 - 2x + 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{2x^2}{2} + x \right]_{-1}^{1} = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + x \right]_{-1}^{1} = \left(\frac{1^3}{3} - 1^2 + 1\right) - \left(\frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + (-1)\right) = \left(\frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{3} - 1 - 1\right) = \frac{1}{3} - (-\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{7}{3} = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$

г) Фигура ограничена линиями $y = \sin x$, $y = \frac{1}{2}$, $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$. Пределы интегрирования заданы: от $x = \frac{\pi}{6}$ до $x = \frac{5\pi}{6}$.

Сравним функции на этом отрезке. На границах отрезка $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Между этими точками, например, при $x = \frac{\pi}{2}$, имеем $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, что больше $\frac{1}{2}$. Таким образом, на интервале $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$ график функции $y=\sin x$ лежит выше прямой $y=\frac{1}{2}$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности функций.

$S = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (\sin x - \frac{1}{2}) dx = \left[ -\cos x - \frac{x}{2} \right]_{\pi/6}^{5\pi/6} = \left(-\cos(\frac{5\pi}{6}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{5\pi}{6}\right) - \left(-\cos(\frac{\pi}{6}) - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{6}\right)$.

Так как $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $S = \left(-(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{5\pi}{12}\right) - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{12}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{12}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \sqrt{3} - \frac{4\pi}{12} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$

365. а) $y = 4x - x^2$, $y = 4 - x;$

б) $y = \frac{16}{x^2}$, $y = 2x$, $x = 4;$

в) $y = x^2$, $y = 2x;$

г) $y = 6 - 2x$, $y = 6 + x - x^2.$

а)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 4x - x^2$ и $y = 4 - x$, сначала найдем точки пересечения графиков этих функций. Для этого приравняем их правые части:

$4x - x^2 = 4 - x$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решая квадратное уравнение, например, по теореме Виета, находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$. Это будут пределы интегрирования.

Теперь определим, какая из функций больше на интервале $(1, 4)$. Возьмем пробную точку, например $x = 2$, и подставим в уравнения функций:

Для $y_1 = 4x - x^2$: $y_1(2) = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4$.

Для $y_2 = 4 - x$: $y_2(2) = 4 - 2 = 2$.

Так как $y_1 > y_2$ на интервале $(1, 4)$, график параболы $y = 4x - x^2$ лежит выше графика прямой $y = 4 - x$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{1}^{4} ((4x - x^2) - (4 - x)) dx = \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) dx$

Вычисляем определенный интеграл:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \right) \right|_{1}^{4} = \left( -\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1 \right)$

$S = \left( -\frac{64}{3} + 40 - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right) = \left( -\frac{64}{3} + 24 \right) - \left( -\frac{2}{6} + \frac{15}{6} - \frac{24}{6} \right)$

$S = \left( \frac{-64+72}{3} \right) - \left( -\frac{11}{6} \right) = \frac{8}{3} + \frac{11}{6} = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: 4.5

б)

Рассмотрим фигуру, ограниченную линиями $y = \frac{16}{x^2}$, $y = 2x$ и $x = 4$. Сначала найдем точку пересечения кривых $y = \frac{16}{x^2}$ и $y = 2x$:

$\frac{16}{x^2} = 2x$

$16 = 2x^3$

$x^3 = 8 \implies x = 2$

Фигура ограничена слева точкой пересечения $x=2$ и справа вертикальной линией $x=4$. Таким образом, пределы интегрирования от 2 до 4.

Определим, какая функция является верхней на интервале $(2, 4)$. Возьмем пробную точку $x = 3$:

Для $y_1 = 2x$: $y_1(3) = 2 \cdot 3 = 6$.

Для $y_2 = \frac{16}{x^2}$: $y_2(3) = \frac{16}{3^2} = \frac{16}{9} \approx 1.78$.

Так как $y_1 > y_2$, на интервале $(2, 4)$ график прямой $y = 2x$ лежит выше графика $y = \frac{16}{x^2}$.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{2}^{4} \left( 2x - \frac{16}{x^2} \right) dx = \int_{2}^{4} (2x - 16x^{-2}) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left. \left( 2\frac{x^2}{2} - 16\frac{x^{-1}}{-1} \right) \right|_{2}^{4} = \left. \left( x^2 + \frac{16}{x} \right) \right|_{2}^{4}$

$S = \left( 4^2 + \frac{16}{4} \right) - \left( 2^2 + \frac{16}{2} \right) = (16 + 4) - (4 + 8) = 20 - 12 = 8$

Ответ: 8

в)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$ и прямой $y = 2x$, найдем их точки пересечения:

$x^2 = 2x$

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$. Это и будут пределы интегрирования.

На интервале $(0, 2)$ выберем пробную точку $x = 1$ для определения верхней функции:

Для $y_1 = 2x$: $y_1(1) = 2 \cdot 1 = 2$.

Для $y_2 = x^2$: $y_2(1) = 1^2 = 1$.

Так как $y_1 > y_2$, прямая $y = 2x$ находится выше параболы $y = x^2$ на данном интервале.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx$

Вычисляем определенный интеграл:

$S = \left. \left( 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{2} = \left. \left( x^2 - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{0}^{2}$

$S = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - (0^2 - \frac{0^3}{3}) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

г)

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 6 - 2x$ и $y = 6 + x - x^2$. Для этого сначала определим пределы интегрирования, найдя точки пересечения графиков:

$6 - 2x = 6 + x - x^2$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

Точки пересечения: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.

Определим, какая из функций больше на интервале $(0, 3)$. Возьмем пробную точку $x = 1$:

Для $y_1 = 6 + x - x^2$: $y_1(1) = 6 + 1 - 1^2 = 6$.

Для $y_2 = 6 - 2x$: $y_2(1) = 6 - 2 \cdot 1 = 4$.

На интервале $(0, 3)$ график функции $y = 6 + x - x^2$ лежит выше графика $y = 6 - 2x$.

Площадь фигуры равна интегралу от разности функций:

$S = \int_{0}^{3} ((6 + x - x^2) - (6 - 2x)) dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right) \right|_{0}^{3} = \left( -\frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + \frac{3 \cdot 0^2}{2} \right)$

$S = \left( -9 + \frac{27}{2} \right) - 0 = \frac{-18 + 27}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: 4.5

366. а) $y = x^2 - 4x + 4$, $y = 4 - x^2$;

б) $y = x^2 - 2x + 2$, $y = 2 + 6x - x^2$;

в) $y = x^2$, $y = 2x - x^2$;

г) $y = x^2$, $y = x^3$.

а) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 4x + 4$ и $y = 4 - x^2$, первым шагом найдем точки их пересечения. Для этого приравняем правые части уравнений:
$x^2 - 4x + 4 = 4 - x^2$
$2x^2 - 4x = 0$
$2x(x - 2) = 0$
Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Это и будут пределы интегрирования.
Далее определим, какая функция принимает большие значения на интервале $(0, 2)$. Возьмем для проверки точку $x = 1$:
Для первой функции: $y(1) = 1^2 - 4(1) + 4 = 1$.
Для второй функции: $y(1) = 4 - 1^2 = 3$.
Поскольку $3 > 1$, на интервале $[0, 2]$ график функции $y = 4 - x^2$ расположен выше графика $y = x^2 - 4x + 4$.
Площадь фигуры $S$ вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_0^2 ((4 - x^2) - (x^2 - 4x + 4)) \,dx = \int_0^2 (4 - x^2 - x^2 + 4x - 4) \,dx = \int_0^2 (-2x^2 + 4x) \,dx$
Теперь вычислим интеграл:
$S = \left[ -2\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 2x^2 \right]_0^2 = \left(-\frac{2}{3} \cdot 2^3 + 2 \cdot 2^2\right) - (0) = -\frac{16}{3} + 8 = \frac{-16 + 24}{3} = \frac{8}{3}$.
Ответ: $\frac{8}{3}$.

б) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 2x + 2$ и $y = 2 + 6x - x^2$. Сначала найдем точки пересечения, приравняв уравнения:
$x^2 - 2x + 2 = 2 + 6x - x^2$
$2x^2 - 8x = 0$
$2x(x - 4) = 0$
Пределы интегрирования: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Определим верхнюю функцию на интервале $(0, 4)$, взяв пробную точку $x = 1$:
$y_1 = 1^2 - 2(1) + 2 = 1$.
$y_2 = 2 + 6(1) - 1^2 = 7$.
Так как $y_2 > y_1$, функция $y = 2 + 6x - x^2$ является верхней.
Площадь фигуры $S$ равна:
$S = \int_0^4 ((2 + 6x - x^2) - (x^2 - 2x + 2)) \,dx = \int_0^4 (-2x^2 + 8x) \,dx$
Вычисляем интеграл:
$S = \left[ -2\frac{x^3}{3} + 8\frac{x^2}{2} \right]_0^4 = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 4x^2 \right]_0^4 = \left(-\frac{2}{3} \cdot 4^3 + 4 \cdot 4^2\right) - 0 = -\frac{128}{3} + 64 = \frac{-128 + 192}{3} = \frac{64}{3}$.
Ответ: $\frac{64}{3}$.

в) Найдем площадь фигуры, ограниченной параболами $y = x^2$ и $y = 2x - x^2$. Найдем точки их пересечения:
$x^2 = 2x - x^2$
$2x^2 - 2x = 0$
$2x(x - 1) = 0$
Пределы интегрирования: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Определим, какая функция больше на интервале $(0, 1)$, взяв точку $x = 0.5$:
$y_1 = (0.5)^2 = 0.25$.
$y_2 = 2(0.5) - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$.
Поскольку $y_2 > y_1$, на интервале $[0, 1]$ парабола $y = 2x - x^2$ лежит выше параболы $y=x^2$.
Вычислим площадь $S$ как интеграл от разности функций:
$S = \int_0^1 ((2x - x^2) - x^2) \,dx = \int_0^1 (2x - 2x^2) \,dx$
Вычисляем интеграл:
$S = \left[ 2\frac{x^2}{2} - 2\frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \left[ x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_0^1 = \left(1^2 - \frac{2}{3} \cdot 1^3\right) - 0 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

г) Найдем площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = x^2$ и $y = x^3$. Найдем точки пересечения:
$x^2 = x^3$
$x^3 - x^2 = 0$
$x^2(x - 1) = 0$
Пределы интегрирования: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Определим верхнюю функцию на интервале $(0, 1)$, взяв точку $x = 0.5$:
$y_1 = (0.5)^2 = 0.25$.
$y_2 = (0.5)^3 = 0.125$.
Так как $y_1 > y_2$, на интервале $[0, 1]$ график $y = x^2$ находится выше графика $y = x^3$.
Площадь фигуры $S$ равна:
$S = \int_0^1 (x^2 - x^3) \,dx$
Вычисляем интеграл:
$S = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \left(\frac{1^3}{3} - \frac{1^4}{4}\right) - 0 = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

367. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = 8x - 2x^2$, касательной к этой параболе в ее вершине и прямой $x = 0$.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = 8x - 2x^2$, касательной к этой параболе в ее вершине и прямой $x = 0$, необходимо выполнить несколько шагов.

Сначала найдем координаты вершины параболы $y = 8x - 2x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -2). Абсцисса вершины $x_v$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$, где $a = -2$ и $b = 8$.

$x_v = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$.

Теперь найдем ординату вершины $y_v$, подставив значение $x_v = 2$ в уравнение параболы:

$y_v = 8(2) - 2(2)^2 = 16 - 2 \cdot 4 = 16 - 8 = 8$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, 8)$.

Касательная к параболе в ее вершине является горизонтальной прямой, проходящей через эту точку. Уравнение такой прямой имеет вид $y = y_v$, следовательно, уравнение касательной — $y = 8$.

Теперь определим границы фигуры. Фигура ограничена следующими линиями:

• сверху — касательной $y = 8$;
• снизу — параболой $y = 8x - 2x^2$;
• слева — прямой $x = 0$.

Правой границей фигуры является вертикальная линия, проходящая через точку касания параболы и прямой $y=8$, то есть через вершину. Абсцисса этой точки — $x = 2$. Таким образом, область интегрирования находится в пределах от $x=0$ до $x=2$.

Площадь $S$ фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности функции, ограничивающей фигуру сверху ($f(x) = 8$), и функции, ограничивающей фигуру снизу ($g(x) = 8x - 2x^2$), в найденных пределах:

$S = \int_{0}^{2} (f(x) - g(x)) dx = \int_{0}^{2} (8 - (8x - 2x^2)) dx = \int_{0}^{2} (8 - 8x + 2x^2) dx$.

Вычисляем интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции:

$\int (8 - 8x + 2x^2) dx = 8x - 8\frac{x^2}{2} + 2\frac{x^3}{3} = 8x - 4x^2 + \frac{2}{3}x^3$.

Теперь подставим пределы интегрирования:

$S = \left[ 8x - 4x^2 + \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{2} = (8(2) - 4(2)^2 + \frac{2}{3}(2)^3) - (8(0) - 4(0)^2 + \frac{2}{3}(0)^3)$.

$S = (16 - 4(4) + \frac{2}{3}(8)) - 0 = (16 - 16 + \frac{16}{3}) = \frac{16}{3}$.

Площадь искомой фигуры равна $\frac{16}{3}$ квадратных единиц.

Ответ: $S = \frac{16}{3}$.

368. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $f(x) = 8 - 0.5x^2$, касательной к нему в точке с абсциссой $x = -2$ и прямой $x = 1$.

Для вычисления площади искомой фигуры необходимо выполнить следующие действия: сначала найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке, а затем вычислить определенный интеграл разности между функцией касательной и исходной функцией в заданных пределах.

1. Нахождение уравнения касательной

Дана функция $f(x) = 8 - 0.5x^2$ и точка касания с абсциссой $x_0 = -2$.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Найдем значение функции в точке касания:

$f(x_0) = f(-2) = 8 - 0.5(-2)^2 = 8 - 0.5 \cdot 4 = 8 - 2 = 6$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (8 - 0.5x^2)' = -0.5 \cdot 2x = -x$.

Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$, которое представляет собой угловой коэффициент касательной:

$f'(-2) = -(-2) = 2$.

Подставим найденные значения $f(-2)=6$ и $f'(-2)=2$ в уравнение касательной:

$y = 6 + 2(x - (-2))$

$y = 6 + 2(x + 2)$

$y = 6 + 2x + 4$

$y = 2x + 10$

Таким образом, уравнение касательной: $g(x) = 2x + 10$.

2. Вычисление площади фигуры

Фигура ограничена графиком функции $f(x) = 8 - 0.5x^2$, касательной к нему $g(x) = 2x + 10$ и прямой $x = 1$. Нижней границей интегрирования является абсцисса точки касания $x = -2$. Таким образом, пределы интегрирования от $a = -2$ до $b = 1$.

Площадь фигуры, заключенной между двумя кривыми, вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} (y_{верх}(x) - y_{ниж}(x)) dx$

График функции $f(x) = 8 - 0.5x^2$ является параболой с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен. Это означает, что парабола лежит ниже любой своей касательной. Следовательно, на отрезке $[-2, 1]$ касательная $g(x) = 2x + 10$ является верхней границей фигуры, а парабола $f(x) = 8 - 0.5x^2$ — нижней.

Составим интеграл для вычисления площади:

$S = \int_{-2}^{1} ((2x + 10) - (8 - 0.5x^2)) dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$(2x + 10) - (8 - 0.5x^2) = 2x + 10 - 8 + 0.5x^2 = 0.5x^2 + 2x + 2$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{-2}^{1} (0.5x^2 + 2x + 2) dx = \left[ 0.5 \frac{x^3}{3} + 2 \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} = \left[ \frac{x^3}{6} + x^2 + 2x \right]_{-2}^{1}$

Применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} h(x)dx = H(b) - H(a) $:

$S = \left( \frac{1^3}{6} + 1^2 + 2 \cdot 1 \right) - \left( \frac{(-2)^3}{6} + (-2)^2 + 2 \cdot (-2) \right)$

$S = \left( \frac{1}{6} + 1 + 2 \right) - \left( \frac{-8}{6} + 4 - 4 \right)$

$S = \left( \frac{1}{6} + 3 \right) - \left( -\frac{8}{6} \right)$

$S = \frac{1+18}{6} + \frac{8}{6} = \frac{19}{6} + \frac{8}{6} = \frac{27}{6}$

Сократим дробь:

$S = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: 4.5.

369. Докажите равенство:

a) $ \int_a^b (f(x)+g(x))dx = \int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x)dx; $

б) $ \int_a^b k f(x)dx = k \int_a^b f(x)dx $ (где $k$ — постоянная).

а)

Для доказательства данного равенства воспользуемся основной теоремой анализа, известной как формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} \phi(x)dx = \Phi(b) - \Phi(a)$, где $\Phi(x)$ — любая первообразная для функции $\phi(x)$, то есть $\Phi'(x) = \phi(x)$.

Пусть $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, а $G(x)$ — первообразной для функции $g(x)$. Это означает, что по определению первообразной $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства: $\int_{a}^{b} (f(x)+g(x))dx$.

Чтобы применить формулу Ньютона-Лейбница, нам нужно найти первообразную для подынтегральной функции $f(x) + g(x)$. Используя свойство производной суммы, найдем производную от суммы первообразных $F(x) + G(x)$:

$(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)$.

Таким образом, функция $H(x) = F(x) + G(x)$ является первообразной для функции $f(x) + g(x)$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница к левой части исходного равенства:

$\int_{a}^{b} (f(x)+g(x))dx = H(b) - H(a) = (F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a))$.

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

$(F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a)) = F(b) - F(a) + G(b) - G(a) = (F(b) - F(a)) + (G(b) - G(a))$.

Теперь рассмотрим правую часть доказываемого равенства: $\int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{a}^{b} g(x)dx$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница к каждому из интегралов по отдельности:

$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$

$\int_{a}^{b} g(x)dx = G(b) - G(a)$

Суммируя эти два выражения, получаем:

$\int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{a}^{b} g(x)dx = (F(b) - F(a)) + (G(b) - G(a))$.

Мы видим, что выражения, полученные для левой и правой частей, идентичны. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство $\int_{a}^{b} (f(x)+g(x))dx = \int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{a}^{b} g(x)dx$ доказано, так как обе части равны выражению $(F(b)-F(a)) + (G(b)-G(a))$, где $F(x)$ и $G(x)$ — первообразные для $f(x)$ и $g(x)$ соответственно.

б)

Для доказательства этого равенства также воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} \phi(x)dx = \Phi(b) - \Phi(a)$.

Пусть $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$, а $k$ — некоторая постоянная величина (константа).

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства: $\int_{a}^{b} kf(x)dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $kf(x)$. Используя правило дифференцирования произведения функции на константу, найдем производную от $kF(x)$:

$(kF(x))' = k \cdot F'(x) = kf(x)$.

Это означает, что функция $H(x) = kF(x)$ является первообразной для функции $kf(x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница к левой части исходного равенства:

$\int_{a}^{b} kf(x)dx = H(b) - H(a) = kF(b) - kF(a)$.

Вынесем общий множитель $k$ за скобки:

$kF(b) - kF(a) = k(F(b) - F(a))$.

Теперь рассмотрим правую часть доказываемого равенства: $k \int_{a}^{b} f(x)dx$.

Сначала вычислим определенный интеграл от $f(x)$ по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$.

Затем умножим полученный результат на константу $k$:

$k \int_{a}^{b} f(x)dx = k(F(b) - F(a))$.

Сравнивая результаты, полученные для левой и правой частей, мы видим, что они одинаковы. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство $\int_{a}^{b} kf(x)dx = k \int_{a}^{b} f(x)dx$ доказано, так как обе части равны выражению $k(F(b)-F(a))$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.