Страница 199 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

375.— Под действием электрического заряда величиной $q$ электрон перемещается по прямой с расстояния $a$ до расстояния $b$. Найдите работу силы взаимодействия зарядов. (Рассмотрите два случая: 1) $a < b, q < 0$; 2) $b < a, q > 0$. Коэффициент пропорциональности в формуле, выражающей закон Кулона, считайте равным $\gamma$.)

Работа $A$, совершаемая переменной силой $F(r)$ при перемещении частицы по прямой от точки с координатой $a$ до точки с координатой $b$, вычисляется с помощью определенного интеграла:

$A = \int_a^b F(r) dr$

В данном случае сила $F(r)$ — это сила электростатического взаимодействия (сила Кулона) между неподвижным зарядом $q$ и электроном. Обозначим заряд электрона как $e$. Важно помнить, что заряд электрона отрицателен ($e < 0$).

Согласно закону Кулона, сила, действующая на электрон со стороны заряда $q$ на расстоянии $r$, выражается формулой:

$F(r) = \gamma \frac{q \cdot e}{r^2}$

Здесь $\gamma$ — это коэффициент пропорциональности, данный в условии. Использование произведения зарядов $q \cdot e$ (вместо их модулей) позволяет автоматически учесть направление силы: если произведение положительно ($F > 0$), заряды отталкиваются; если отрицательно ($F < 0$) — притягиваются.

Теперь можем найти работу, совершаемую этой силой, проинтегрировав выражение для силы по расстоянию от $a$ до $b$:

$A = \int_a^b \gamma \frac{q e}{r^2} dr$

Выносим константы за знак интеграла и вычисляем его:

$A = \gamma q e \int_a^b \frac{1}{r^2} dr = \gamma q e \left[ -\frac{1}{r} \right]_a^b = \gamma q e \left( (-\frac{1}{b}) - (-\frac{1}{a}) \right) = \gamma q e \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$

Это общая формула для работы в данной задаче. Теперь применим ее к двум указанным случаям.

1) a < b, q < 0;

Электрон перемещается от начального расстояния $a$ до конечного $b$. Используем полученную общую формулу для работы: $A = \gamma q e \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$. Проанализируем знаки величин. По условию $a < b$, значит $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$, и разность $\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$ положительна. Также дано, что заряд $q < 0$. Заряд электрона $e$ тоже отрицателен, поэтому их произведение $q \cdot e$ будет положительным. Коэффициент $\gamma$ является положительной константой. Таким образом, работа $A$ является произведением трех положительных сомножителей и, следовательно, положительна ($A > 0$). Это согласуется с физикой процесса: два одноименных заряда (оба отрицательные) отталкиваются, и сила совершает положительную работу, когда расстояние между ними увеличивается.

Ответ: $A = \gamma q e \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$

2) b < a, q > 0.

Электрон перемещается от начального расстояния $a$ до конечного $b$. Формула для работы та же: $A = \gamma q e \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$. Проанализируем знаки. По условию $b < a$, значит $\frac{1}{b} > \frac{1}{a}$, и разность $\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$ отрицательна. Дано, что заряд $q > 0$. Заряд электрона $e$ отрицателен, поэтому их произведение $q \cdot e$ будет отрицательным. В результате работа $A$ является произведением положительной константы $\gamma$ и двух отрицательных величин ($qe$ и $\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$), что дает положительный результат ($A > 0$). Физический смысл также сохраняется: разноименные заряды притягиваются, и сила притяжения совершает положительную работу, когда расстояние между ними уменьшается.

Ответ: $A = \gamma q e \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$

376.— Канал имеет в разрезе форму равнобочной трапеции высотой $h$ с основаниями $a$ и $b$. Найдите силу, с которой вода, заполняющая канал, давит на плотину ($a > b$, $a$ — верхнее основание трапеции).

Для нахождения силы давления воды на плотину необходимо использовать интегральное исчисление, так как давление воды зависит от глубины и, следовательно, не является постоянной величиной по всей площади плотины.

Давление жидкости на глубине $y$ определяется формулой $P(y) = \rho g y$, где $\rho$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, а $y$ — глубина, отсчитываемая от поверхности воды.

Рассмотрим поперечное сечение канала, которое имеет форму равнобочной трапеции с высотой $h$, верхним основанием $a$ и нижним основанием $b$. Введем систему координат. Пусть начало координат находится в центре верхнего основания (на поверхности воды), ось $OY$ направлена вертикально вниз, а ось $OX$ — горизонтально.

В этой системе координат глубина $y$ изменяется от $0$ до $h$. Нам нужно выразить ширину плотины $w(y)$ как функцию глубины $y$. Поскольку трапеция равнобочная, ширина линейно изменяется с глубиной.

При $y = 0$ (на поверхности) ширина равна $a$: $w(0) = a$.
При $y = h$ (на дне) ширина равна $b$: $w(h) = b$.

Зависимость ширины от глубины можно представить линейной функцией: $w(y) = ky + c$.
Используя начальные условия, найдем коэффициенты $k$ и $c$.
Из $w(0) = a$ следует, что $k \cdot 0 + c = a \Rightarrow c = a$.
Теперь функция имеет вид $w(y) = ky + a$.
Из $w(h) = b$ следует, что $k \cdot h + a = b \Rightarrow k = \frac{b-a}{h}$.
Таким образом, ширина плотины на глубине $y$ равна: $w(y) = a + \frac{b-a}{h}y$.

Рассмотрим тонкую горизонтальную полоску плотины на глубине $y$ с малой высотой $dy$. Площадь этой полоски $dS$ равна произведению ее ширины $w(y)$ на высоту $dy$: $dS = w(y) dy = \left(a + \frac{b-a}{h}y\right)dy$.

Давление на этой глубине постоянно и равно $P(y) = \rho g y$. Тогда элементарная сила давления $dF$, действующая на эту полоску, равна: $dF = P(y) dS = \rho g y \left(a + \frac{b-a}{h}y\right)dy$.

Для нахождения полной силы давления $F$ необходимо проинтегрировать это выражение по всей высоте плотины от $y = 0$ до $y = h$: $F = \int_{0}^{h} dF = \int_{0}^{h} \rho g y \left(a + \frac{b-a}{h}y\right)dy$.

Вынесем константы за знак интеграла и раскроем скобки: $F = \rho g \int_{0}^{h} \left(ay + \frac{b-a}{h}y^2\right)dy$.

Вычислим интеграл: $F = \rho g \left[ a\frac{y^2}{2} + \frac{b-a}{h}\frac{y^3}{3} \right]_{0}^{h}$.

Подставим пределы интегрирования: $F = \rho g \left( \left( a\frac{h^2}{2} + \frac{b-a}{h}\frac{h^3}{3} \right) - (0) \right)$.

Упростим выражение: $F = \rho g \left( \frac{ah^2}{2} + \frac{(b-a)h^2}{3} \right)$.
Вынесем $h^2$ за скобки и приведем дроби к общему знаменателю 6: $F = \rho g h^2 \left( \frac{a}{2} + \frac{b-a}{3} \right) = \rho g h^2 \left( \frac{3a + 2(b-a)}{6} \right)$.
$F = \rho g h^2 \left( \frac{3a + 2b - 2a}{6} \right) = \rho g h^2 \frac{a + 2b}{6}$.

Ответ: $F = \frac{\rho g h^2 (a + 2b)}{6}$, где $\rho$ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения.

377.— Вода, подаваемая с плоскости основания в цилиндрический бак через отверстие в дне, заполняет весь бак. Определите затраченную при этом работу. Высота бака равна $h$, радиус основания равен $r$.

Для определения работы, затраченной на заполнение цилиндрического бака водой, необходимо вычислить работу, совершаемую против силы тяжести при подъеме воды. Поскольку разные слои воды поднимаются на разную высоту, мы будем использовать метод интегрирования.

Введем систему координат, направив ось $y$ вертикально вверх от дна бака. Дно бака находится на уровне $y=0$.

Рассмотрим тонкий горизонтальный слой воды на высоте $y$ от дна. Пусть его толщина будет бесконечно малой величиной $dy$.

Площадь основания цилиндра, а следовательно, и площадь этого слоя, равна $S = \pi r^2$.

Объем этого элементарного слоя воды равен $dV = S \cdot dy = \pi r^2 dy$.

Пусть $\rho$ — плотность воды. Тогда масса этого слоя равна $dm = \rho \cdot dV = \rho \pi r^2 dy$.

Сила тяжести, действующая на этот слой, равна $dF = dm \cdot g = \rho g \pi r^2 dy$, где $g$ — ускорение свободного падения.

Вода подается с плоскости основания (с уровня $y=0$). Чтобы поднять этот элементарный слой на высоту $y$, необходимо совершить работу $dW$, равную произведению силы на перемещение:

$dW = dF \cdot y = (\rho g \pi r^2 dy) \cdot y = \rho g \pi r^2 y \, dy$

Полная работа $A$ по заполнению всего бака от дна ($y=0$) до верха ($y=h$) находится путем интегрирования элементарной работы $dW$ по всей высоте бака:

$A = \int_{0}^{h} dW = \int_{0}^{h} \rho g \pi r^2 y \, dy$

Поскольку величины $\rho$, $g$, $\pi$ и $r$ являются постоянными, их можно вынести за знак интеграла:

$A = \rho g \pi r^2 \int_{0}^{h} y \, dy$

Вычислим определенный интеграл:

$A = \rho g \pi r^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{h} = \rho g \pi r^2 \left( \frac{h^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \frac{\rho g \pi r^2 h^2}{2}$

Таким образом, работа, затраченная на заполнение бака, зависит от плотности воды, ускорения свободного падения, а также квадратов радиуса основания и высоты бака.

Ответ: $A = \frac{\rho g \pi r^2 h^2}{2}$, где $\rho$ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения.

378. Найдите работу против силы выталкивания при погружении шара в воду.

Для того чтобы найти работу, совершаемую против силы выталкивания при погружении шара в воду, необходимо учесть, что выталкивающая сила (сила Архимеда) не является постоянной. Она увеличивается по мере погружения тела в жидкость, так как растет объем погруженной части. Работа в случае переменной силы вычисляется с помощью интегрирования.

Сила Архимеда $F_b$ определяется по формуле: $F_b = \rho g V_{sub}$, где $\rho$ — плотность жидкости (в данном случае воды), $g$ — ускорение свободного падения, а $V_{sub}$ — объем погруженной части тела.

Рассмотрим два способа решения задачи для шара радиусом $R$.

Метод 1: Прямое интегрирование

Введем вертикальную ось $h$, направленную вниз, с началом на поверхности воды. Процесс полного погружения шара соответствует изменению глубины его погруженной части от $h=0$ (касание поверхности) до $h=2R$ (полное погружение). Объем погруженной части шара, представляющей собой шаровой сегмент высотой $h$, равен:

$V_{sub}(h) = \frac{1}{3}\pi h^2 (3R - h)$

Тогда сила выталкивания как функция от $h$ имеет вид:

$F_b(h) = \rho g V_{sub}(h) = \frac{\pi \rho g}{3} (3Rh^2 - h^3)$

Работа $A$, совершаемая против силы выталкивания, равна интегралу от этой силы по всему пути погружения от $h=0$ до $h=2R$:

$A = \int_{0}^{2R} F_b(h) \, dh = \int_{0}^{2R} \frac{\pi \rho g}{3} (3Rh^2 - h^3) \, dh$

Вычислим этот интеграл, вынеся постоянные множители:

$A = \frac{\pi \rho g}{3} \int_{0}^{2R} (3Rh^2 - h^3) \, dh = \frac{\pi \rho g}{3} \left[ 3R \frac{h^3}{3} - \frac{h^4}{4} \right]_{0}^{2R} = \frac{\pi \rho g}{3} \left[ Rh^3 - \frac{h^4}{4} \right]_{0}^{2R}$

Подставляя пределы интегрирования, получаем:

$A = \frac{\pi \rho g}{3} \left( \left( R(2R)^3 - \frac{(2R)^4}{4} \right) - 0 \right) = \frac{\pi \rho g}{3} \left( 8R^4 - \frac{16R^4}{4} \right) = \frac{\pi \rho g}{3} (8R^4 - 4R^4) = \frac{4\pi \rho g R^4}{3}$

Метод 2: Энергетический подход

Работу против силы выталкивания можно также определить через изменение потенциальной энергии системы. Совершаемая работа равна потенциальной энергии, которую имел бы объем воды, вытесненный телом.

Когда шар полностью погружен, он вытесняет объем воды, равный своему собственному объему $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$. Центр масс этого вытесненного объема воды (имеющего форму шара) находится на той же глубине, что и центр погруженного шара, то есть на глубине $h_{цм} = R$ от поверхности воды.

Работа равна произведению веса вытесненной воды на глубину ее центра масс:

$A = (\text{Вес вытесненной воды}) \times h_{цм} = (m_{воды} \cdot g) \times R$

Масса вытесненной воды равна $m_{воды} = \rho \cdot V_{шара} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$.

Следовательно, работа равна:

$A = \left(\rho \frac{4}{3}\pi R^3 g \right) \cdot R = \frac{4}{3} \pi \rho g R^4$

Этот результат совпадает с полученным первым методом. Физически это означает, что работа равна произведению максимальной (конечной) силы выталкивания ($F_{b,max} = \rho g V_{шара}$) на глубину центра масс полностью погруженного шара ($R$).

Ответ:

Работа $A$, совершаемая против силы выталкивания при полном погружении шара радиусом $R$ в воду (или другую жидкость с плотностью $\rho$), вычисляется по формуле:

$A = \frac{4}{3} \pi \rho g R^4$

379. Однородный стержень длиной $l = 20$ см вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец. Угловая скорость вращения $\omega = 10\pi$ с$^{-1}$. Площадь поперечного сечения стержня $S = 4$ см$^{2}$, плотность материала, из которого изготовлен стержень, равна $\rho = 7,8$ г/см$^{3}$. Найдите кинетическую энергию стержня.

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела определяется формулой:
$E_k = \frac{1}{2} I \omega^2$
где $E_k$ — кинетическая энергия, $I$ — момент инерции тела относительно оси вращения, а $\omega$ — угловая скорость вращения.

Для однородного стержня длиной $l$ и массой $m$, вращающегося вокруг оси, проходящей перпендикулярно стержню через один из его концов, момент инерции равен:
$I = \frac{1}{3} m l^2$

Массу стержня $m$ можно выразить через его плотность $\rho$, площадь поперечного сечения $S$ и длину $l$:
$m = \rho \cdot V = \rho \cdot S \cdot l$

Теперь объединим формулы. Сначала подставим выражение для массы в формулу момента инерции:
$I = \frac{1}{3} (\rho S l) l^2 = \frac{1}{3} \rho S l^3$
Затем подставим полученный момент инерции в формулу кинетической энергии:
$E_k = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \rho S l^3 \right) \omega^2 = \frac{1}{6} \rho S l^3 \omega^2$

Для проведения вычислений переведем все величины в Международную систему единиц (СИ):

• Длина: $l = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$
• Площадь сечения: $S = 4 \text{ см}^2 = 4 \times (10^{-2} \text{ м})^2 = 4 \times 10^{-4} \text{ м}^2$
• Плотность: $\rho = 7,8 \text{ г/см}^3 = 7,8 \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 7,8 \times 10^3 \text{ кг/м}^3$
• Угловая скорость: $\omega = 10\pi \text{ с}^{-1}$ (или рад/с)

Подставим числовые значения в итоговую формулу:
$E_k = \frac{1}{6} \cdot (7,8 \times 10^3 \text{ кг/м}^3) \cdot (4 \times 10^{-4} \text{ м}^2) \cdot (0,2 \text{ м})^3 \cdot (10\pi \text{ с}^{-1})^2$
$E_k = \frac{1}{6} \cdot (7,8 \times 10^3) \cdot (4 \times 10^{-4}) \cdot (0,008) \cdot (100 \pi^2)$
$E_k = \frac{7,8 \cdot 4 \cdot 0,008 \cdot 100 \cdot \pi^2}{6} \cdot 10^{3-4}$
$E_k = \frac{24,96 \cdot \pi^2}{6} \cdot 10^{-1}$
$E_k = 4,16 \cdot \pi^2 \cdot 10^{-1} = 0,416 \pi^2 \text{ Дж}$

Для получения численного значения, используем приближение $\pi^2 \approx 9,87$:
$E_k \approx 0,416 \cdot 9,87 \approx 4,106 \text{ Дж}$

Ответ: $E_k = 0,416 \pi^2 \text{ Дж} \approx 4,11 \text{ Дж}$.

380. Найдите центр масс однородного прямого кругового конуса.

Для нахождения центра масс однородного прямого кругового конуса воспользуемся методом интегрирования.

Расположим конус в системе координат так, чтобы его вершина находилась в начале координат $(0, 0, 0)$, а ось симметрии совпадала с осью $Oz$. Основание конуса будет лежать в плоскости $z=H$, где $H$ — высота конуса, а радиус основания равен $R$.

Поскольку конус является телом вращения и однороден (имеет постоянную плотность $\rho$), его центр масс будет лежать на оси симметрии, то есть на оси $Oz$. Это означает, что координаты центра масс по осям $x$ и $y$ равны нулю: $x_{цм} = 0$, $y_{цм} = 0$. Нам остаётся найти только $z$-координату центра масс, $z_{цм}$.

Координата $z_{цм}$ для непрерывного распределения массы вычисляется по формуле:$z_{цм} = \frac{\int_V z \, dm}{\int_V dm}$где $dm$ — элемент массы, а интегрирование производится по всему объему конуса $V$.

Так как конус однородный, элемент массы $dm$ можно выразить через элемент объёма $dV$: $dm = \rho \, dV$. Плотность $\rho$ является константой и сокращается:$z_{цм} = \frac{\int_V z \rho \, dV}{\int_V \rho \, dV} = \frac{\rho \int_V z \, dV}{\rho \int_V dV} = \frac{\int_V z \, dV}{V}$где $V = \int_V dV$ — полный объем конуса.

Разобьем конус на бесконечно тонкие горизонтальные диски толщиной $dz$, расположенные на высоте $z$ от вершины. Радиус такого диска, обозначим его $r(z)$, зависит от высоты $z$. Из подобия треугольников в осевом сечении конуса имеем соотношение:$\frac{r(z)}{z} = \frac{R}{H}$Отсюда радиус диска на высоте $z$:$r(z) = \frac{R}{H}z$

Объем элементарного диска $dV$ равен площади его основания, умноженной на толщину $dz$:$dV = \pi [r(z)]^2 \, dz = \pi \left(\frac{R}{H}z\right)^2 \, dz = \pi \frac{R^2}{H^2}z^2 \, dz$

Теперь вычислим интеграл в числителе. Интегрирование проводится по всей высоте конуса от $z=0$ (вершина) до $z=H$ (основание):$\int_V z \, dV = \int_0^H z \left(\pi \frac{R^2}{H^2}z^2\right) \, dz = \pi \frac{R^2}{H^2} \int_0^H z^3 \, dz$$= \pi \frac{R^2}{H^2} \left[ \frac{z^4}{4} \right]_0^H = \pi \frac{R^2}{H^2} \left( \frac{H^4}{4} - 0 \right) = \frac{1}{4}\pi R^2 H^2$

Знаменатель в формуле для $z_{цм}$ — это объем конуса $V$. Его можно найти, проинтегрировав $dV$, либо воспользовавшись известной формулой:$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

Наконец, находим $z_{цм}$:$z_{цм} = \frac{\int_V z \, dV}{V} = \frac{\frac{1}{4}\pi R^2 H^2}{\frac{1}{3}\pi R^2 H} = \frac{3}{4}H$

Это значение представляет собой расстояние от вершины конуса. Расстояние от основания конуса будет равно $H - z_{цм} = H - \frac{3}{4}H = \frac{1}{4}H$. Таким образом, центр масс расположен на оси конуса на высоте, равной одной четверти его полной высоты, если измерять от основания.

Ответ: Центр масс однородного прямого кругового конуса находится на его оси симметрии на расстоянии $\frac{1}{4}$ высоты от основания.