Номер 376, страница 199 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 8. Интеграл. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 376, страница 199.

№376 (с. 199)
Условие. №376 (с. 199)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 199, номер 376, Условие

376.— Канал имеет в разрезе форму равнобочной трапеции высотой $h$ с основаниями $a$ и $b$. Найдите силу, с которой вода, заполняющая канал, давит на плотину ($a > b$, $a$ — верхнее основание трапеции).

Решение 1. №376 (с. 199)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 199, номер 376, Решение 1
Решение 5. №376 (с. 199)

Для нахождения силы давления воды на плотину необходимо использовать интегральное исчисление, так как давление воды зависит от глубины и, следовательно, не является постоянной величиной по всей площади плотины.

Давление жидкости на глубине $y$ определяется формулой $P(y) = \rho g y$, где $\rho$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, а $y$ — глубина, отсчитываемая от поверхности воды.

Рассмотрим поперечное сечение канала, которое имеет форму равнобочной трапеции с высотой $h$, верхним основанием $a$ и нижним основанием $b$. Введем систему координат. Пусть начало координат находится в центре верхнего основания (на поверхности воды), ось $OY$ направлена вертикально вниз, а ось $OX$ — горизонтально.

В этой системе координат глубина $y$ изменяется от $0$ до $h$. Нам нужно выразить ширину плотины $w(y)$ как функцию глубины $y$. Поскольку трапеция равнобочная, ширина линейно изменяется с глубиной.

При $y = 0$ (на поверхности) ширина равна $a$: $w(0) = a$.
При $y = h$ (на дне) ширина равна $b$: $w(h) = b$.

Зависимость ширины от глубины можно представить линейной функцией: $w(y) = ky + c$.
Используя начальные условия, найдем коэффициенты $k$ и $c$.
Из $w(0) = a$ следует, что $k \cdot 0 + c = a \Rightarrow c = a$.
Теперь функция имеет вид $w(y) = ky + a$.
Из $w(h) = b$ следует, что $k \cdot h + a = b \Rightarrow k = \frac{b-a}{h}$.
Таким образом, ширина плотины на глубине $y$ равна: $w(y) = a + \frac{b-a}{h}y$.

Рассмотрим тонкую горизонтальную полоску плотины на глубине $y$ с малой высотой $dy$. Площадь этой полоски $dS$ равна произведению ее ширины $w(y)$ на высоту $dy$: $dS = w(y) dy = \left(a + \frac{b-a}{h}y\right)dy$.

Давление на этой глубине постоянно и равно $P(y) = \rho g y$. Тогда элементарная сила давления $dF$, действующая на эту полоску, равна: $dF = P(y) dS = \rho g y \left(a + \frac{b-a}{h}y\right)dy$.

Для нахождения полной силы давления $F$ необходимо проинтегрировать это выражение по всей высоте плотины от $y = 0$ до $y = h$: $F = \int_{0}^{h} dF = \int_{0}^{h} \rho g y \left(a + \frac{b-a}{h}y\right)dy$.

Вынесем константы за знак интеграла и раскроем скобки: $F = \rho g \int_{0}^{h} \left(ay + \frac{b-a}{h}y^2\right)dy$.

Вычислим интеграл: $F = \rho g \left[ a\frac{y^2}{2} + \frac{b-a}{h}\frac{y^3}{3} \right]_{0}^{h}$.

Подставим пределы интегрирования: $F = \rho g \left( \left( a\frac{h^2}{2} + \frac{b-a}{h}\frac{h^3}{3} \right) - (0) \right)$.

Упростим выражение: $F = \rho g \left( \frac{ah^2}{2} + \frac{(b-a)h^2}{3} \right)$.
Вынесем $h^2$ за скобки и приведем дроби к общему знаменателю 6: $F = \rho g h^2 \left( \frac{a}{2} + \frac{b-a}{3} \right) = \rho g h^2 \left( \frac{3a + 2(b-a)}{6} \right)$.
$F = \rho g h^2 \left( \frac{3a + 2b - 2a}{6} \right) = \rho g h^2 \frac{a + 2b}{6}$.

Ответ: $F = \frac{\rho g h^2 (a + 2b)}{6}$, где $\rho$ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 376 расположенного на странице 199 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №376 (с. 199), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.