Номер 376, страница 199 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 3. Первообразная и интеграл. Параграф 8. Интеграл - номер 376, страница 199.

Условие.

376.— Канал имеет в разрезе форму равнобочной трапеции высотой $h$ с основаниями $a$ и $b$. Найдите силу, с которой вода, заполняющая канал, давит на плотину ($a > b$, $a$ — верхнее основание трапеции).

Решение 1.

Решение 5.

Для нахождения силы давления воды на плотину необходимо использовать интегральное исчисление, так как давление воды зависит от глубины и, следовательно, не является постоянной величиной по всей площади плотины.

Давление жидкости на глубине $y$ определяется формулой $P(y) = \rho g y$, где $\rho$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, а $y$ — глубина, отсчитываемая от поверхности воды.

Рассмотрим поперечное сечение канала, которое имеет форму равнобочной трапеции с высотой $h$, верхним основанием $a$ и нижним основанием $b$. Введем систему координат. Пусть начало координат находится в центре верхнего основания (на поверхности воды), ось $OY$ направлена вертикально вниз, а ось $OX$ — горизонтально.

В этой системе координат глубина $y$ изменяется от $0$ до $h$. Нам нужно выразить ширину плотины $w(y)$ как функцию глубины $y$. Поскольку трапеция равнобочная, ширина линейно изменяется с глубиной.

При $y = 0$ (на поверхности) ширина равна $a$: $w(0) = a$.
При $y = h$ (на дне) ширина равна $b$: $w(h) = b$.

Зависимость ширины от глубины можно представить линейной функцией: $w(y) = ky + c$.
Используя начальные условия, найдем коэффициенты $k$ и $c$.
Из $w(0) = a$ следует, что $k \cdot 0 + c = a \Rightarrow c = a$.
Теперь функция имеет вид $w(y) = ky + a$.
Из $w(h) = b$ следует, что $k \cdot h + a = b \Rightarrow k = \frac{b-a}{h}$.
Таким образом, ширина плотины на глубине $y$ равна: $w(y) = a + \frac{b-a}{h}y$.

Рассмотрим тонкую горизонтальную полоску плотины на глубине $y$ с малой высотой $dy$. Площадь этой полоски $dS$ равна произведению ее ширины $w(y)$ на высоту $dy$: $dS = w(y) dy = \left(a + \frac{b-a}{h}y\right)dy$.

Давление на этой глубине постоянно и равно $P(y) = \rho g y$. Тогда элементарная сила давления $dF$, действующая на эту полоску, равна: $dF = P(y) dS = \rho g y \left(a + \frac{b-a}{h}y\right)dy$.

Для нахождения полной силы давления $F$ необходимо проинтегрировать это выражение по всей высоте плотины от $y = 0$ до $y = h$: $F = \int_{0}^{h} dF = \int_{0}^{h} \rho g y \left(a + \frac{b-a}{h}y\right)dy$.

Вынесем константы за знак интеграла и раскроем скобки: $F = \rho g \int_{0}^{h} \left(ay + \frac{b-a}{h}y^2\right)dy$.

Вычислим интеграл: $F = \rho g \left[ a\frac{y^2}{2} + \frac{b-a}{h}\frac{y^3}{3} \right]_{0}^{h}$.

Подставим пределы интегрирования: $F = \rho g \left( \left( a\frac{h^2}{2} + \frac{b-a}{h}\frac{h^3}{3} \right) - (0) \right)$.

Упростим выражение: $F = \rho g \left( \frac{ah^2}{2} + \frac{(b-a)h^2}{3} \right)$.
Вынесем $h^2$ за скобки и приведем дроби к общему знаменателю 6: $F = \rho g h^2 \left( \frac{a}{2} + \frac{b-a}{3} \right) = \rho g h^2 \left( \frac{3a + 2(b-a)}{6} \right)$.
$F = \rho g h^2 \left( \frac{3a + 2b - 2a}{6} \right) = \rho g h^2 \frac{a + 2b}{6}$.

Ответ: $F = \frac{\rho g h^2 (a + 2b)}{6}$, где $\rho$ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения.