Номер 2, страница 205 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Вопросы и задачи на повторение. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 2, страница 205.

Условие.

2. 1) Сформулируйте признак постоянства функции на заданном промежутке. Сформулируйте основное свойство первообразной.

2) Запишите общий вид первообразных для функции:

а) $f(x) = kx + b$ (k и b — постоянные);

б) $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$;

в) $f(x) = x^n$ (n — целое число, $n \neq -1$);

г) $f(x) = \cos x$.

3) Для функции f найдите первообразную F, принимающую заданное значение в данной точке:

а) $f(x) = \sin x - \cos x, F(\pi) = 1$;

б) $f(x) = \frac{x^2}{3} - \frac{3}{x^2}, F(3) = 5$;

в) $f(x) = 2x - 5, F(1) = -2$;

г) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2}}, F(6) = 10$.

Решение 5.

1) Признак постоянства функции: Если производная функции $f(x)$ равна нулю на некотором промежутке $I$ (то есть $f'(x) = 0$ для любого $x \in I$), то эта функция является постоянной на данном промежутке (то есть $f(x) = C$, где $C$ — некоторая константа).
Основное свойство первообразной: Если функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на промежутке $I$, то любая другая первообразная для функции $f(x)$ на этом же промежутке может быть представлена в виде $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная. Это означает, что все первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга на константу.

2) а) Для функции $f(x) = kx + b$ общий вид первообразных находится интегрированием каждого слагаемого. Первообразная для $kx$ равна $k \frac{x^2}{2}$, а для $b$ — $bx$. Добавляя константу интегрирования $C$, получаем общий вид.
Ответ: $F(x) = k\frac{x^2}{2} + bx + C$.

2) б) Функция $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ является производной для функции $\tan x$. Следовательно, для нахождения общего вида первообразных нужно добавить константу $C$.
Ответ: $F(x) = \tan x + C$.

2) в) Для степенной функции $f(x) = x^n$ (при $n \neq -1$) первообразная находится по формуле $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Добавляем константу $C$ для получения общего вида.
Ответ: $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

2) г) Функция $f(x) = \cos x$ является производной для функции $\sin x$. Общий вид первообразных получаем, прибавив константу $C$.
Ответ: $F(x) = \sin x + C$.

3) а) Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = \sin x - \cos x$:
$F(x) = \int (\sin x - \cos x) dx = -\cos x - \sin x + C$.
Теперь используем заданное условие $F(\pi) = 1$, чтобы найти константу $C$:
$F(\pi) = -\cos(\pi) - \sin(\pi) + C = -(-1) - 0 + C = 1 + C$.
Так как $F(\pi) = 1$, то $1 + C = 1$, откуда $C = 0$.
Подставляем значение $C$ в общий вид первообразной.
Ответ: $F(x) = -\cos x - \sin x$.

3) б) Запишем функцию в виде $f(x) = \frac{1}{3}x^2 - 3x^{-2}$. Найдем общий вид первообразной:
$F(x) = \int (\frac{1}{3}x^2 - 3x^{-2}) dx = \frac{1}{3}\frac{x^3}{3} - 3\frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{x^3}{9} + \frac{3}{x} + C$.
Используем условие $F(3) = 5$ для нахождения $C$:
$F(3) = \frac{3^3}{9} + \frac{3}{3} + C = \frac{27}{9} + 1 + C = 3 + 1 + C = 4 + C$.
Так как $F(3) = 5$, то $4 + C = 5$, откуда $C = 1$.
Подставляем найденное значение $C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{9} + \frac{3}{x} + 1$.

3) в) Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 2x - 5$:
$F(x) = \int (2x - 5) dx = 2\frac{x^2}{2} - 5x + C = x^2 - 5x + C$.
Используем условие $F(1) = -2$ для нахождения $C$:
$F(1) = 1^2 - 5(1) + C = 1 - 5 + C = -4 + C$.
Так как $F(1) = -2$, то $-4 + C = -2$, откуда $C = 2$.
Подставляем найденное значение $C$.
Ответ: $F(x) = x^2 - 5x + 2$.

3) г) Запишем функцию в виде $f(x) = (x-2)^{-1/2}$. Найдем общий вид первообразной:
$F(x) = \int (x-2)^{-1/2} dx = \frac{(x-2)^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x-2} + C$.
Используем условие $F(6) = 10$ для нахождения $C$:
$F(6) = 2\sqrt{6-2} + C = 2\sqrt{4} + C = 2 \cdot 2 + C = 4 + C$.
Так как $F(6) = 10$, то $4 + C = 10$, откуда $C = 6$.
Подставляем найденное значение $C$.
Ответ: $F(x) = 2\sqrt{x-2} + 6$.