Номер 375, страница 199 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 8. Интеграл. Глава 3. Первообразная и интеграл - номер 375, страница 199.

Условие.

375.— Под действием электрического заряда величиной $q$ электрон перемещается по прямой с расстояния $a$ до расстояния $b$. Найдите работу силы взаимодействия зарядов. (Рассмотрите два случая: 1) $a < b, q < 0$; 2) $b < a, q > 0$. Коэффициент пропорциональности в формуле, выражающей закон Кулона, считайте равным $\gamma$.)

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Работа $A$, совершаемая переменной силой $F(r)$ при перемещении частицы по прямой от точки с координатой $a$ до точки с координатой $b$, вычисляется с помощью определенного интеграла:

$A = \int_a^b F(r) dr$

В данном случае сила $F(r)$ — это сила электростатического взаимодействия (сила Кулона) между неподвижным зарядом $q$ и электроном. Обозначим заряд электрона как $e$. Важно помнить, что заряд электрона отрицателен ($e < 0$).

Согласно закону Кулона, сила, действующая на электрон со стороны заряда $q$ на расстоянии $r$, выражается формулой:

$F(r) = \gamma \frac{q \cdot e}{r^2}$

Здесь $\gamma$ — это коэффициент пропорциональности, данный в условии. Использование произведения зарядов $q \cdot e$ (вместо их модулей) позволяет автоматически учесть направление силы: если произведение положительно ($F > 0$), заряды отталкиваются; если отрицательно ($F < 0$) — притягиваются.

Теперь можем найти работу, совершаемую этой силой, проинтегрировав выражение для силы по расстоянию от $a$ до $b$:

$A = \int_a^b \gamma \frac{q e}{r^2} dr$

Выносим константы за знак интеграла и вычисляем его:

$A = \gamma q e \int_a^b \frac{1}{r^2} dr = \gamma q e \left[ -\frac{1}{r} \right]_a^b = \gamma q e \left( (-\frac{1}{b}) - (-\frac{1}{a}) \right) = \gamma q e \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$

Это общая формула для работы в данной задаче. Теперь применим ее к двум указанным случаям.

1) a < b, q < 0;

Электрон перемещается от начального расстояния $a$ до конечного $b$. Используем полученную общую формулу для работы: $A = \gamma q e \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$. Проанализируем знаки величин. По условию $a < b$, значит $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$, и разность $\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$ положительна. Также дано, что заряд $q < 0$. Заряд электрона $e$ тоже отрицателен, поэтому их произведение $q \cdot e$ будет положительным. Коэффициент $\gamma$ является положительной константой. Таким образом, работа $A$ является произведением трех положительных сомножителей и, следовательно, положительна ($A > 0$). Это согласуется с физикой процесса: два одноименных заряда (оба отрицательные) отталкиваются, и сила совершает положительную работу, когда расстояние между ними увеличивается.

Ответ: $A = \gamma q e \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$

2) b < a, q > 0.

Электрон перемещается от начального расстояния $a$ до конечного $b$. Формула для работы та же: $A = \gamma q e \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$. Проанализируем знаки. По условию $b < a$, значит $\frac{1}{b} > \frac{1}{a}$, и разность $\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$ отрицательна. Дано, что заряд $q > 0$. Заряд электрона $e$ отрицателен, поэтому их произведение $q \cdot e$ будет отрицательным. В результате работа $A$ является произведением положительной константы $\gamma$ и двух отрицательных величин ($qe$ и $\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$), что дает положительный результат ($A > 0$). Физический смысл также сохраняется: разноименные заряды притягиваются, и сила притяжения совершает положительную работу, когда расстояние между ними уменьшается.

Ответ: $A = \gamma q e \left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right)$